Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58345 / 90106
↖ ↑ ↗
← S 55.767303°
W 19.750672°		 ← 171.82 m → S 55.767303°
W 19.747925°		 →
↑
171.83 m
↓
↑
171.83 m
↓
S 55.768849°
W 19.750672°		 ← 171.81 m →
29 522 m²		 S 55.768849°
W 19.747925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445140838623047 y=0.687458038330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445140838623047 × 217)
    floor (0.445140838623047 × 131072)
    floor (58345.5)     		tx = 58345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687458038330078 × 217)
    floor (0.687458038330078 × 131072)
    floor (90106.5)     		ty = 90106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58345 / 90106 ti = "17/58345/90106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58345/90106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58345 ÷ 217
    58345 ÷ 131072     		x = 0.445137023925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90106 ÷ 217
    90106 ÷ 131072     		y = 0.687454223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445137023925781 × 2 - 1) × π
    -0.109725952148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.34471425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687454223632812 × 2 - 1) × π
    -0.374908447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.17780962366478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34471425} λ = -0.34471425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17780962366478))-π/2
    2×atan(0.307952532340019)-π/2
    2×0.298736632927455-π/2
    0.59747326585491-1.57079632675     		φ = -0.97332306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34471425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.750672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97332306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.767303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58345 KachelY 90106 -0.34471425 -0.97332306 -19.750672 -55.767303
    Oben rechts KachelX + 1 58346 KachelY 90106 -0.34466631 -0.97332306 -19.747925 -55.767303
    Unten links KachelX 58345 KachelY + 1 90107 -0.34471425 -0.97335003 -19.750672 -55.768849
    Unten rechts KachelX + 1 58346 KachelY + 1 90107 -0.34466631 -0.97335003 -19.747925 -55.768849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97332306--0.97335003) × R
    2.69699999999595e-05 × 6371000     		dl = 171.825869999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97332306--0.97335003) × R
    2.69699999999595e-05 × 6371000     		dr = 171.825869999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34471425--0.34466631) × cos(-0.97332306) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.562555270265196 × 6371000     		do = 171.818859711734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34471425--0.34466631) × cos(-0.97335003) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.562532972352043 × 6371000     		du = 171.812049355108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97332306)-sin(-0.97335003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562555270265196-0.562532972352043)×R²
    abs(-0.34466631--0.34471425)×2.22979131534462e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.22979131534462e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.22979131534462e-05×40589641000000     		ar = 29522.3399563871m²