Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58344 / 88952
↖ ↑ ↗
← S 53.943155°
W 19.753418°		 ← 179.73 m → S 53.943155°
W 19.750672°		 →
↑
179.73 m
↓
↑
179.73 m
↓
S 53.944771°
W 19.753418°		 ← 179.73 m →
32 302 m²		 S 53.944771°
W 19.750672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445133209228516 y=0.678653717041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445133209228516 × 217)
    floor (0.445133209228516 × 131072)
    floor (58344.5)     		tx = 58344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678653717041016 × 217)
    floor (0.678653717041016 × 131072)
    floor (88952.5)     		ty = 88952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58344 / 88952 ti = "17/58344/88952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58344/88952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58344 ÷ 217
    58344 ÷ 131072     		x = 0.44512939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88952 ÷ 217
    88952 ÷ 131072     		y = 0.67864990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44512939453125 × 2 - 1) × π
    -0.1097412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34476218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67864990234375 × 2 - 1) × π
    -0.3572998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.12249044150323
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34476218} λ = -0.34476218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12249044150323))-π/2
    2×atan(0.32546822488379)-π/2
    2×0.314655334173434-π/2
    0.629310668346869-1.57079632675     		φ = -0.94148566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34476218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.753418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94148566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.943155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58344 KachelY 88952 -0.34476218 -0.94148566 -19.753418 -53.943155
    Oben rechts KachelX + 1 58345 KachelY 88952 -0.34471425 -0.94148566 -19.750672 -53.943155
    Unten links KachelX 58344 KachelY + 1 88953 -0.34476218 -0.94151387 -19.753418 -53.944771
    Unten rechts KachelX + 1 58345 KachelY + 1 88953 -0.34471425 -0.94151387 -19.750672 -53.944771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94148566--0.94151387) × R
    2.8209999999973e-05 × 6371000     		dl = 179.725909999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94148566--0.94151387) × R
    2.8209999999973e-05 × 6371000     		dr = 179.725909999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34476218--0.34471425) × cos(-0.94148566) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.588587617819289 × 6371000     		do = 179.732309810064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34476218--0.34471425) × cos(-0.94151387) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.588564811677937 × 6371000     		du = 179.725345680445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94148566)-sin(-0.94151387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588587617819289-0.588564811677937)×R²
    abs(-0.34471425--0.34476218)×2.2806141351861e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.2806141351861e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.2806141351861e-05×40589641000000     		ar = 32301.9271217854m²