Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58343 / 87838
↖ ↑ ↗
← S 52.103131°
W 19.756165°		 ← 187.61 m → S 52.103131°
W 19.753418°		 →
↑
187.56 m
↓
↑
187.56 m
↓
S 52.104818°
W 19.756165°		 ← 187.60 m →
35 187 m²		 S 52.104818°
W 19.753418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445125579833984 y=0.670154571533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445125579833984 × 217)
    floor (0.445125579833984 × 131072)
    floor (58343.5)     		tx = 58343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670154571533203 × 217)
    floor (0.670154571533203 × 131072)
    floor (87838.5)     		ty = 87838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58343 / 87838 ti = "17/58343/87838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58343/87838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58343 ÷ 217
    58343 ÷ 131072     		x = 0.445121765136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87838 ÷ 217
    87838 ÷ 131072     		y = 0.670150756835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445121765136719 × 2 - 1) × π
    -0.109756469726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.34481012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670150756835938 × 2 - 1) × π
    -0.340301513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.06908873532649
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34481012} λ = -0.34481012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06908873532649))-π/2
    2×atan(0.343321231424316)-π/2
    2×0.330712568510648-π/2
    0.661425137021296-1.57079632675     		φ = -0.90937119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34481012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.756165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90937119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.103131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58343 KachelY 87838 -0.34481012 -0.90937119 -19.756165 -52.103131
    Oben rechts KachelX + 1 58344 KachelY 87838 -0.34476218 -0.90937119 -19.753418 -52.103131
    Unten links KachelX 58343 KachelY + 1 87839 -0.34481012 -0.90940063 -19.756165 -52.104818
    Unten rechts KachelX + 1 58344 KachelY + 1 87839 -0.34476218 -0.90940063 -19.753418 -52.104818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90937119--0.90940063) × R
    2.94400000000472e-05 × 6371000     		dl = 187.562240000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90937119--0.90940063) × R
    2.94400000000472e-05 × 6371000     		dr = 187.562240000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34481012--0.34476218) × cos(-0.90937119) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.614242075964501 × 6371000     		do = 187.605340590688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34481012--0.34476218) × cos(-0.90940063) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.614218844074579 × 6371000     		du = 187.598244973517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90937119)-sin(-0.90940063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614242075964501-0.614218844074579)×R²
    abs(-0.34476218--0.34481012)×2.32318899212602e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32318899212602e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32318899212602e-05×40589641000000     		ar = 35187.0124849384m²