Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58342 / 87862
↖ ↑ ↗
← S 52.143603°
W 19.758911°		 ← 187.44 m → S 52.143603°
W 19.756165°		 →
↑
187.37 m
↓
↑
187.37 m
↓
S 52.145288°
W 19.758911°		 ← 187.43 m →
35 119 m²		 S 52.145288°
W 19.756165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445117950439453 y=0.670337677001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445117950439453 × 217)
    floor (0.445117950439453 × 131072)
    floor (58342.5)     		tx = 58342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670337677001953 × 217)
    floor (0.670337677001953 × 131072)
    floor (87862.5)     		ty = 87862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58342 / 87862 ti = "17/58342/87862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58342/87862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58342 ÷ 217
    58342 ÷ 131072     		x = 0.445114135742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87862 ÷ 217
    87862 ÷ 131072     		y = 0.670333862304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445114135742188 × 2 - 1) × π
    -0.109771728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34485806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670333862304688 × 2 - 1) × π
    -0.340667724609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.07023922091737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34485806} λ = -0.34485806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07023922091737))-π/2
    2×atan(0.342926472420334)-π/2
    2×0.330359390554906-π/2
    0.660718781109812-1.57079632675     		φ = -0.91007755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34485806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.758911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91007755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.143603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58342 KachelY 87862 -0.34485806 -0.91007755 -19.758911 -52.143603
    Oben rechts KachelX + 1 58343 KachelY 87862 -0.34481012 -0.91007755 -19.756165 -52.143603
    Unten links KachelX 58342 KachelY + 1 87863 -0.34485806 -0.91010696 -19.758911 -52.145288
    Unten rechts KachelX + 1 58343 KachelY + 1 87863 -0.34481012 -0.91010696 -19.756165 -52.145288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91007755--0.91010696) × R
    2.94100000000075e-05 × 6371000     		dl = 187.371110000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91007755--0.91010696) × R
    2.94100000000075e-05 × 6371000     		dr = 187.371110000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34485806--0.34481012) × cos(-0.91007755) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.613684521628326 × 6371000     		do = 187.435049144972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34485806--0.34481012) × cos(-0.91010696) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.613661300658214 × 6371000     		du = 187.427956862992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91007755)-sin(-0.91010696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613684521628326-0.613661300658214)×R²
    abs(-0.34481012--0.34485806)×2.32209701116481e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32209701116481e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32209701116481e-05×40589641000000     		ar = 35119.2487693588m²