Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58341 / 87798
↖ ↑ ↗
← S 52.035597°
W 19.761658°		 ← 187.85 m → S 52.035597°
W 19.758911°		 →
↑
187.88 m
↓
↑
187.88 m
↓
S 52.037287°
W 19.761658°		 ← 187.84 m →
35 293 m²		 S 52.037287°
W 19.758911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445110321044922 y=0.669849395751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445110321044922 × 217)
    floor (0.445110321044922 × 131072)
    floor (58341.5)     		tx = 58341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669849395751953 × 217)
    floor (0.669849395751953 × 131072)
    floor (87798.5)     		ty = 87798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58341 / 87798 ti = "17/58341/87798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58341/87798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58341 ÷ 217
    58341 ÷ 131072     		x = 0.445106506347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87798 ÷ 217
    87798 ÷ 131072     		y = 0.669845581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445106506347656 × 2 - 1) × π
    -0.109786987304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.34490599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669845581054688 × 2 - 1) × π
    -0.339691162109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.06717125934169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34490599} λ = -0.34490599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06717125934169))-π/2
    2×atan(0.343980173191256)-π/2
    2×0.331301911348321-π/2
    0.662603822696643-1.57079632675     		φ = -0.90819250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34490599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.761658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90819250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.035597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58341 KachelY 87798 -0.34490599 -0.90819250 -19.761658 -52.035597
    Oben rechts KachelX + 1 58342 KachelY 87798 -0.34485806 -0.90819250 -19.758911 -52.035597
    Unten links KachelX 58341 KachelY + 1 87799 -0.34490599 -0.90822199 -19.761658 -52.037287
    Unten rechts KachelX + 1 58342 KachelY + 1 87799 -0.34485806 -0.90822199 -19.758911 -52.037287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90819250--0.90822199) × R
    2.94900000000764e-05 × 6371000     		dl = 187.880790000487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90819250--0.90822199) × R
    2.94900000000764e-05 × 6371000     		dr = 187.880790000487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34490599--0.34485806) × cos(-0.90819250) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.615171774150601 × 6371000     		do = 187.850101753226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34490599--0.34485806) × cos(-0.90822199) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.615148524170437 × 6371000     		du = 187.843002092086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90819250)-sin(-0.90822199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615171774150601-0.615148524170437)×R²
    abs(-0.34485806--0.34490599)×2.32499801635644e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.32499801635644e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.32499801635644e-05×40589641000000     		ar = 35292.7585765865m²