Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58341 / 87509
↖ ↑ ↗
← S 51.544627°
W 19.761658°		 ← 189.91 m → S 51.544627°
W 19.758911°		 →
↑
189.92 m
↓
↑
189.92 m
↓
S 51.546335°
W 19.761658°		 ← 189.90 m →
36 066 m²		 S 51.546335°
W 19.758911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445110321044922 y=0.667644500732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445110321044922 × 217)
    floor (0.445110321044922 × 131072)
    floor (58341.5)     		tx = 58341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667644500732422 × 217)
    floor (0.667644500732422 × 131072)
    floor (87509.5)     		ty = 87509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58341 / 87509 ti = "17/58341/87509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58341/87509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58341 ÷ 217
    58341 ÷ 131072     		x = 0.445106506347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87509 ÷ 217
    87509 ÷ 131072     		y = 0.667640686035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445106506347656 × 2 - 1) × π
    -0.109786987304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.34490599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667640686035156 × 2 - 1) × π
    -0.335281372070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.05331749535149
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34490599} λ = -0.34490599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05331749535149))-π/2
    2×atan(0.348778755795603)-π/2
    2×0.335586437261734-π/2
    0.671172874523468-1.57079632675     		φ = -0.89962345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34490599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.761658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89962345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.544627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58341 KachelY 87509 -0.34490599 -0.89962345 -19.761658 -51.544627
    Oben rechts KachelX + 1 58342 KachelY 87509 -0.34485806 -0.89962345 -19.758911 -51.544627
    Unten links KachelX 58341 KachelY + 1 87510 -0.34490599 -0.89965326 -19.761658 -51.546335
    Unten rechts KachelX + 1 58342 KachelY + 1 87510 -0.34485806 -0.89965326 -19.758911 -51.546335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89962345--0.89965326) × R
    2.9810000000019e-05 × 6371000     		dl = 189.919510000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89962345--0.89965326) × R
    2.9810000000019e-05 × 6371000     		dr = 189.919510000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34490599--0.34485806) × cos(-0.89962345) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.621904885942506 × 6371000     		do = 189.906138438219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34490599--0.34485806) × cos(-0.89965326) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.62188154167021 × 6371000     		du = 189.899009983841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89962345)-sin(-0.89965326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621904885942506-0.62188154167021)×R²
    abs(-0.34485806--0.34490599)×2.33442722965549e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.33442722965549e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.33442722965549e-05×40589641000000     		ar = 36066.2038446432m²