Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58340 / 87852
↖ ↑ ↗
← S 52.126744°
W 19.764404°		 ← 187.51 m → S 52.126744°
W 19.761658°		 →
↑
187.50 m
↓
↑
187.50 m
↓
S 52.128430°
W 19.764404°		 ← 187.50 m →
35 156 m²		 S 52.128430°
W 19.761658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445102691650391 y=0.670261383056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445102691650391 × 217)
    floor (0.445102691650391 × 131072)
    floor (58340.5)     		tx = 58340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670261383056641 × 217)
    floor (0.670261383056641 × 131072)
    floor (87852.5)     		ty = 87852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58340 / 87852 ti = "17/58340/87852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58340/87852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58340 ÷ 217
    58340 ÷ 131072     		x = 0.445098876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87852 ÷ 217
    87852 ÷ 131072     		y = 0.670257568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445098876953125 × 2 - 1) × π
    -0.10980224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34495393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670257568359375 × 2 - 1) × π
    -0.34051513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.06975985192117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34495393} λ = -0.34495393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06975985192117))-π/2
    2×atan(0.343090900146817)-π/2
    2×0.330506509059581-π/2
    0.661013018119162-1.57079632675     		φ = -0.90978331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34495393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.764404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90978331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.126744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58340 KachelY 87852 -0.34495393 -0.90978331 -19.764404 -52.126744
    Oben rechts KachelX + 1 58341 KachelY 87852 -0.34490599 -0.90978331 -19.761658 -52.126744
    Unten links KachelX 58340 KachelY + 1 87853 -0.34495393 -0.90981274 -19.764404 -52.128430
    Unten rechts KachelX + 1 58341 KachelY + 1 87853 -0.34490599 -0.90981274 -19.761658 -52.128430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90978331--0.90981274) × R
    2.9429999999997e-05 × 6371000     		dl = 187.498529999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90978331--0.90981274) × R
    2.9429999999997e-05 × 6371000     		dr = 187.498529999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34495393--0.34490599) × cos(-0.90978331) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.613916812643747 × 6371000     		do = 187.505996800252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34495393--0.34490599) × cos(-0.90981274) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.613893581197343 × 6371000     		du = 187.498901318543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90978331)-sin(-0.90981274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613916812643747-0.613893581197343)×R²
    abs(-0.34490599--0.34495393)×2.32314464032601e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32314464032601e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32314464032601e-05×40589641000000     		ar = 35156.4335725892m²