Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58339 / 89642
↖ ↑ ↗
← S 55.043762°
W 19.767151°		 ← 174.99 m → S 55.043762°
W 19.764404°		 →
↑
174.95 m
↓
↑
174.95 m
↓
S 55.045335°
W 19.767151°		 ← 174.99 m →
30 614 m²		 S 55.045335°
W 19.764404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445095062255859 y=0.683917999267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445095062255859 × 217)
    floor (0.445095062255859 × 131072)
    floor (58339.5)     		tx = 58339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683917999267578 × 217)
    floor (0.683917999267578 × 131072)
    floor (89642.5)     		ty = 89642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58339 / 89642 ti = "17/58339/89642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58339/89642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58339 ÷ 217
    58339 ÷ 131072     		x = 0.445091247558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89642 ÷ 217
    89642 ÷ 131072     		y = 0.683914184570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445091247558594 × 2 - 1) × π
    -0.109817504882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.34500187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683914184570312 × 2 - 1) × π
    -0.367828369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.15556690224107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34500187} λ = -0.34500187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15556690224107))-π/2
    2×atan(0.314878980696415)-π/2
    2×0.305050725682351-π/2
    0.610101451364702-1.57079632675     		φ = -0.96069488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34500187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.767151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96069488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.043762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58339 KachelY 89642 -0.34500187 -0.96069488 -19.767151 -55.043762
    Oben rechts KachelX + 1 58340 KachelY 89642 -0.34495393 -0.96069488 -19.764404 -55.043762
    Unten links KachelX 58339 KachelY + 1 89643 -0.34500187 -0.96072234 -19.767151 -55.045335
    Unten rechts KachelX + 1 58340 KachelY + 1 89643 -0.34495393 -0.96072234 -19.764404 -55.045335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96069488--0.96072234) × R
    2.74599999999792e-05 × 6371000     		dl = 174.947659999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96069488--0.96072234) × R
    2.74599999999792e-05 × 6371000     		dr = 174.947659999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34500187--0.34495393) × cos(-0.96069488) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.572950607816873 × 6371000     		do = 174.993863375804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34500187--0.34495393) × cos(-0.96072234) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.572928101662258 × 6371000     		du = 174.986989416876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96069488)-sin(-0.96072234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572950607816873-0.572928101662258)×R²
    abs(-0.34495393--0.34500187)×2.25061546150762e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25061546150762e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25061546150762e-05×40589641000000     		ar = 30614.1656223982m²