Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58339 / 89440
↖ ↑ ↗
← S 54.724620°
W 19.767151°		 ← 176.39 m → S 54.724620°
W 19.764404°		 →
↑
176.41 m
↓
↑
176.41 m
↓
S 54.726206°
W 19.767151°		 ← 176.38 m →
31 116 m²		 S 54.726206°
W 19.764404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445095062255859 y=0.682376861572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445095062255859 × 217)
    floor (0.445095062255859 × 131072)
    floor (58339.5)     		tx = 58339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682376861572266 × 217)
    floor (0.682376861572266 × 131072)
    floor (89440.5)     		ty = 89440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58339 / 89440 ti = "17/58339/89440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58339/89440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58339 ÷ 217
    58339 ÷ 131072     		x = 0.445091247558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89440 ÷ 217
    89440 ÷ 131072     		y = 0.682373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445091247558594 × 2 - 1) × π
    -0.109817504882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.34500187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682373046875 × 2 - 1) × π
    -0.36474609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.14588364851782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34500187} λ = -0.34500187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14588364851782))-π/2
    2×atan(0.31794284390068)-π/2
    2×0.307835761254499-π/2
    0.615671522508998-1.57079632675     		φ = -0.95512480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34500187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.767151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95512480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.724620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58339 KachelY 89440 -0.34500187 -0.95512480 -19.767151 -54.724620
    Oben rechts KachelX + 1 58340 KachelY 89440 -0.34495393 -0.95512480 -19.764404 -54.724620
    Unten links KachelX 58339 KachelY + 1 89441 -0.34500187 -0.95515249 -19.767151 -54.726206
    Unten rechts KachelX + 1 58340 KachelY + 1 89441 -0.34495393 -0.95515249 -19.764404 -54.726206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95512480--0.95515249) × R
    2.76900000000246e-05 × 6371000     		dl = 176.412990000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95512480--0.95515249) × R
    2.76900000000246e-05 × 6371000     		dr = 176.412990000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34500187--0.34495393) × cos(-0.95512480) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.577506877409919 × 6371000     		do = 176.385465387898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34500187--0.34495393) × cos(-0.95515249) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.577484271465177 × 6371000     		du = 176.378560950497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95512480)-sin(-0.95515249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577506877409919-0.577484271465177)×R²
    abs(-0.34495393--0.34500187)×2.26059447412386e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26059447412386e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26059447412386e-05×40589641000000     		ar = 31116.078327355m²