Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58337 / 89441
↖ ↑ ↗
← S 54.726206°
W 19.772644°		 ← 176.38 m → S 54.726206°
W 19.769897°		 →
↑
176.35 m
↓
↑
176.35 m
↓
S 54.727792°
W 19.772644°		 ← 176.37 m →
31 104 m²		 S 54.727792°
W 19.769897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445079803466797 y=0.682384490966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445079803466797 × 217)
    floor (0.445079803466797 × 131072)
    floor (58337.5)     		tx = 58337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682384490966797 × 217)
    floor (0.682384490966797 × 131072)
    floor (89441.5)     		ty = 89441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58337 / 89441 ti = "17/58337/89441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58337/89441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58337 ÷ 217
    58337 ÷ 131072     		x = 0.445075988769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89441 ÷ 217
    89441 ÷ 131072     		y = 0.682380676269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445075988769531 × 2 - 1) × π
    -0.109848022460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.34509774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682380676269531 × 2 - 1) × π
    -0.364761352539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.14593158541744
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34509774} λ = -0.34509774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14593158541744))-π/2
    2×atan(0.317927603071789)-π/2
    2×0.307821919580827-π/2
    0.615643839161654-1.57079632675     		φ = -0.95515249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34509774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.772644°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95515249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.726206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58337 KachelY 89441 -0.34509774 -0.95515249 -19.772644 -54.726206
    Oben rechts KachelX + 1 58338 KachelY 89441 -0.34504980 -0.95515249 -19.769897 -54.726206
    Unten links KachelX 58337 KachelY + 1 89442 -0.34509774 -0.95518017 -19.772644 -54.727792
    Unten rechts KachelX + 1 58338 KachelY + 1 89442 -0.34504980 -0.95518017 -19.769897 -54.727792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95515249--0.95518017) × R
    2.76799999999744e-05 × 6371000     		dl = 176.349279999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95515249--0.95518017) × R
    2.76799999999744e-05 × 6371000     		dr = 176.349279999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34509774--0.34504980) × cos(-0.95515249) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.577484271465177 × 6371000     		do = 176.378560950497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34509774--0.34504980) × cos(-0.95518017) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.577461673241836 × 6371000     		du = 176.37165887141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95515249)-sin(-0.95518017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577484271465177-0.577461673241836)×R²
    abs(-0.34504980--0.34509774)×2.25982233412747e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25982233412747e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25982233412747e-05×40589641000000     		ar = 31103.6236447381m²