Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58336 / 89364
↖ ↑ ↗
← S 54.603892°
W 19.775391°		 ← 176.91 m → S 54.603892°
W 19.772644°		 →
↑
176.86 m
↓
↑
176.86 m
↓
S 54.605483°
W 19.775391°		 ← 176.90 m →
31 288 m²		 S 54.605483°
W 19.772644°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445072174072266 y=0.681797027587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445072174072266 × 217)
    floor (0.445072174072266 × 131072)
    floor (58336.5)     		tx = 58336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681797027587891 × 217)
    floor (0.681797027587891 × 131072)
    floor (89364.5)     		ty = 89364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58336 / 89364 ti = "17/58336/89364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58336/89364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58336 ÷ 217
    58336 ÷ 131072     		x = 0.445068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89364 ÷ 217
    89364 ÷ 131072     		y = 0.681793212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445068359375 × 2 - 1) × π
    -0.10986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34514568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681793212890625 × 2 - 1) × π
    -0.36358642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.1422404441467
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34514568} λ = -0.34514568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1422404441467))-π/2
    2×atan(0.319103287241933)-π/2
    2×0.308889314254135-π/2
    0.61777862850827-1.57079632675     		φ = -0.95301770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34514568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.775391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95301770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.603892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58336 KachelY 89364 -0.34514568 -0.95301770 -19.775391 -54.603892
    Oben rechts KachelX + 1 58337 KachelY 89364 -0.34509774 -0.95301770 -19.772644 -54.603892
    Unten links KachelX 58336 KachelY + 1 89365 -0.34514568 -0.95304546 -19.775391 -54.605483
    Unten rechts KachelX + 1 58337 KachelY + 1 89365 -0.34509774 -0.95304546 -19.772644 -54.605483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95301770--0.95304546) × R
    2.77600000000433e-05 × 6371000     		dl = 176.858960000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95301770--0.95304546) × R
    2.77600000000433e-05 × 6371000     		dr = 176.858960000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34514568--0.34509774) × cos(-0.95301770) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.579225800670238 × 6371000     		do = 176.910468796889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34514568--0.34509774) × cos(-0.95304546) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.579203171407156 × 6371000     		du = 176.903557237466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95301770)-sin(-0.95304546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579225800670238-0.579203171407156)×R²
    abs(-0.34509774--0.34514568)×2.26292630813862e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.26292630813862e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.26292630813862e-05×40589641000000     		ar = 31287.5903409452m²