Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58335 / 88988
↖ ↑ ↗
← S 54.001312°
W 19.778137°		 ← 179.48 m → S 54.001312°
W 19.775391°		 →
↑
179.53 m
↓
↑
179.53 m
↓
S 54.002926°
W 19.778137°		 ← 179.47 m →
32 223 m²		 S 54.002926°
W 19.775391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445064544677734 y=0.678928375244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445064544677734 × 217)
    floor (0.445064544677734 × 131072)
    floor (58335.5)     		tx = 58335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678928375244141 × 217)
    floor (0.678928375244141 × 131072)
    floor (88988.5)     		ty = 88988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58335 / 88988 ti = "17/58335/88988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58335/88988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58335 ÷ 217
    58335 ÷ 131072     		x = 0.445060729980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88988 ÷ 217
    88988 ÷ 131072     		y = 0.678924560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445060729980469 × 2 - 1) × π
    -0.109878540039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.34519361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678924560546875 × 2 - 1) × π
    -0.35784912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.12421616988956
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34519361} λ = -0.34519361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12421616988956))-π/2
    2×atan(0.324907039495314)-π/2
    2×0.314147817189697-π/2
    0.628295634379394-1.57079632675     		φ = -0.94250069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34519361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.778137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94250069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.001312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58335 KachelY 88988 -0.34519361 -0.94250069 -19.778137 -54.001312
    Oben rechts KachelX + 1 58336 KachelY 88988 -0.34514568 -0.94250069 -19.775391 -54.001312
    Unten links KachelX 58335 KachelY + 1 88989 -0.34519361 -0.94252887 -19.778137 -54.002926
    Unten rechts KachelX + 1 58336 KachelY + 1 88989 -0.34514568 -0.94252887 -19.775391 -54.002926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94250069--0.94252887) × R
    2.81799999999333e-05 × 6371000     		dl = 179.534779999575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94250069--0.94252887) × R
    2.81799999999333e-05 × 6371000     		dr = 179.534779999575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34519361--0.34514568) × cos(-0.94250069) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.587766730565611 × 6371000     		do = 179.48164201188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34519361--0.34514568) × cos(-0.94252887) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.587743931854132 × 6371000     		du = 179.474680151061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94250069)-sin(-0.94252887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587766730565611-0.587743931854132)×R²
    abs(-0.34514568--0.34519361)×2.27987114789219e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.27987114789219e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.27987114789219e-05×40589641000000     		ar = 32222.5721666303m²