Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58334 / 89374
↖ ↑ ↗
← S 54.619798°
W 19.780884°		 ← 176.84 m → S 54.619798°
W 19.778137°		 →
↑
176.80 m
↓
↑
176.80 m
↓
S 54.621388°
W 19.780884°		 ← 176.83 m →
31 264 m²		 S 54.621388°
W 19.778137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445056915283203 y=0.681873321533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445056915283203 × 217)
    floor (0.445056915283203 × 131072)
    floor (58334.5)     		tx = 58334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681873321533203 × 217)
    floor (0.681873321533203 × 131072)
    floor (89374.5)     		ty = 89374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58334 / 89374 ti = "17/58334/89374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58334/89374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58334 ÷ 217
    58334 ÷ 131072     		x = 0.445053100585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89374 ÷ 217
    89374 ÷ 131072     		y = 0.681869506835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445053100585938 × 2 - 1) × π
    -0.109893798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34524155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681869506835938 × 2 - 1) × π
    -0.363739013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.1427198131429
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34524155} λ = -0.34524155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1427198131429))-π/2
    2×atan(0.318950355677697)-π/2
    2×0.308750509932024-π/2
    0.617501019864048-1.57079632675     		φ = -0.95329531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34524155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.780884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95329531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.619798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58334 KachelY 89374 -0.34524155 -0.95329531 -19.780884 -54.619798
    Oben rechts KachelX + 1 58335 KachelY 89374 -0.34519361 -0.95329531 -19.778137 -54.619798
    Unten links KachelX 58334 KachelY + 1 89375 -0.34524155 -0.95332306 -19.780884 -54.621388
    Unten rechts KachelX + 1 58335 KachelY + 1 89375 -0.34519361 -0.95332306 -19.778137 -54.621388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95329531--0.95332306) × R
    2.77499999999931e-05 × 6371000     		dl = 176.795249999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95329531--0.95332306) × R
    2.77499999999931e-05 × 6371000     		dr = 176.795249999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34524155--0.34519361) × cos(-0.95329531) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.57899947980275 × 6371000     		do = 176.841344578459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34524155--0.34519361) × cos(-0.95332306) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.578976854230291 × 6371000     		du = 176.834434146248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95329531)-sin(-0.95332306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57899947980275-0.578976854230291)×R²
    abs(-0.34519361--0.34524155)×2.2625572459023e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2625572459023e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2625572459023e-05×40589641000000     		ar = 31264.0988614223m²