Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58328 / 87431
↖ ↑ ↗
← S 51.411199°
W 19.797363°		 ← 190.46 m → S 51.411199°
W 19.794617°		 →
↑
190.43 m
↓
↑
190.43 m
↓
S 51.412912°
W 19.797363°		 ← 190.46 m →
36 269 m²		 S 51.412912°
W 19.794617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445011138916016 y=0.667049407958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445011138916016 × 217)
    floor (0.445011138916016 × 131072)
    floor (58328.5)     		tx = 58328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667049407958984 × 217)
    floor (0.667049407958984 × 131072)
    floor (87431.5)     		ty = 87431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58328 / 87431 ti = "17/58328/87431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58328/87431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58328 ÷ 217
    58328 ÷ 131072     		x = 0.44500732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87431 ÷ 217
    87431 ÷ 131072     		y = 0.667045593261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44500732421875 × 2 - 1) × π
    -0.1099853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34552917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667045593261719 × 2 - 1) × π
    -0.334091186523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.04957841718113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34552917} λ = -0.34552917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04957841718113))-π/2
    2×atan(0.350085307955806)-π/2
    2×0.336750815544023-π/2
    0.673501631088047-1.57079632675     		φ = -0.89729470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34552917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.797363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89729470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.411199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58328 KachelY 87431 -0.34552917 -0.89729470 -19.797363 -51.411199
    Oben rechts KachelX + 1 58329 KachelY 87431 -0.34548124 -0.89729470 -19.794617 -51.411199
    Unten links KachelX 58328 KachelY + 1 87432 -0.34552917 -0.89732459 -19.797363 -51.412912
    Unten rechts KachelX + 1 58329 KachelY + 1 87432 -0.34548124 -0.89732459 -19.794617 -51.412912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89729470--0.89732459) × R
    2.98899999999769e-05 × 6371000     		dl = 190.429189999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89729470--0.89732459) × R
    2.98899999999769e-05 × 6371000     		dr = 190.429189999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34552917--0.34548124) × cos(-0.89729470) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.623726825303498 × 6371000     		do = 190.462489540028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34552917--0.34548124) × cos(-0.89732459) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.62370346173343 × 6371000     		du = 190.455355192843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89729470)-sin(-0.89732459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623726825303498-0.62370346173343)×R²
    abs(-0.34548124--0.34552917)×2.33635700682688e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.33635700682688e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.33635700682688e-05×40589641000000     		ar = 36268.938317157m²