Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58327 / 87515
↖ ↑ ↗
← S 51.554875°
W 19.800110°		 ← 189.90 m → S 51.554875°
W 19.797363°		 →
↑
189.86 m
↓
↑
189.86 m
↓
S 51.556582°
W 19.800110°		 ← 189.90 m →
36 054 m²		 S 51.556582°
W 19.797363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445003509521484 y=0.667690277099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445003509521484 × 217)
    floor (0.445003509521484 × 131072)
    floor (58327.5)     		tx = 58327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667690277099609 × 217)
    floor (0.667690277099609 × 131072)
    floor (87515.5)     		ty = 87515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58327 / 87515 ti = "17/58327/87515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58327/87515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58327 ÷ 217
    58327 ÷ 131072     		x = 0.444999694824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87515 ÷ 217
    87515 ÷ 131072     		y = 0.667686462402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444999694824219 × 2 - 1) × π
    -0.110000610351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.34557711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667686462402344 × 2 - 1) × π
    -0.335372924804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.05360511674921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34557711} λ = -0.34557711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05360511674921))-π/2
    2×atan(0.348678453987531)-π/2
    2×0.335497010757528-π/2
    0.670994021515057-1.57079632675     		φ = -0.89980231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34557711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.800110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89980231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.554875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58327 KachelY 87515 -0.34557711 -0.89980231 -19.800110 -51.554875
    Oben rechts KachelX + 1 58328 KachelY 87515 -0.34552917 -0.89980231 -19.797363 -51.554875
    Unten links KachelX 58327 KachelY + 1 87516 -0.34557711 -0.89983211 -19.800110 -51.556582
    Unten rechts KachelX + 1 58328 KachelY + 1 87516 -0.34552917 -0.89983211 -19.797363 -51.556582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89980231--0.89983211) × R
    2.97999999999687e-05 × 6371000     		dl = 189.855799999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89980231--0.89983211) × R
    2.97999999999687e-05 × 6371000     		dr = 189.855799999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34557711--0.34552917) × cos(-0.89980231) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.621764812019746 × 6371000     		do = 189.902977817187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34557711--0.34552917) × cos(-0.89983211) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.621741472264228 × 6371000     		du = 189.895849255087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89980231)-sin(-0.89983211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621764812019746-0.621741472264228)×R²
    abs(-0.34552917--0.34557711)×2.33397555183812e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33397555183812e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33397555183812e-05×40589641000000     		ar = 36053.5050791738m²