Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58326 / 90022
↖ ↑ ↗
← S 55.637299°
W 19.802857°		 ← 172.39 m → S 55.637299°
W 19.800110°		 →
↑
172.34 m
↓
↑
172.34 m
↓
S 55.638849°
W 19.802857°		 ← 172.38 m →
29 709 m²		 S 55.638849°
W 19.800110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444995880126953 y=0.686817169189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444995880126953 × 217)
    floor (0.444995880126953 × 131072)
    floor (58326.5)     		tx = 58326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686817169189453 × 217)
    floor (0.686817169189453 × 131072)
    floor (90022.5)     		ty = 90022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58326 / 90022 ti = "17/58326/90022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58326/90022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58326 ÷ 217
    58326 ÷ 131072     		x = 0.444992065429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90022 ÷ 217
    90022 ÷ 131072     		y = 0.686813354492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444992065429688 × 2 - 1) × π
    -0.110015869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34562505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686813354492188 × 2 - 1) × π
    -0.373626708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.1737829240967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34562505} λ = -0.34562505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1737829240967))-π/2
    2×atan(0.309195064642225)-π/2
    2×0.299871139889771-π/2
    0.599742279779542-1.57079632675     		φ = -0.97105405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34562505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.802857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97105405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.637299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58326 KachelY 90022 -0.34562505 -0.97105405 -19.802857 -55.637299
    Oben rechts KachelX + 1 58327 KachelY 90022 -0.34557711 -0.97105405 -19.800110 -55.637299
    Unten links KachelX 58326 KachelY + 1 90023 -0.34562505 -0.97108110 -19.802857 -55.638849
    Unten rechts KachelX + 1 58327 KachelY + 1 90023 -0.34557711 -0.97108110 -19.800110 -55.638849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97105405--0.97108110) × R
    2.70500000000284e-05 × 6371000     		dl = 172.335550000181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97105405--0.97108110) × R
    2.70500000000284e-05 × 6371000     		dr = 172.335550000181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34562505--0.34557711) × cos(-0.97105405) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.5644297465053 × 6371000     		do = 172.391373004281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34562505--0.34557711) × cos(-0.97108110) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.564407417034808 × 6371000     		du = 172.384553009232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97105405)-sin(-0.97108110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5644297465053-0.564407417034808)×R²
    abs(-0.34557711--0.34562505)×2.23294704920773e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.23294704920773e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.23294704920773e-05×40589641000000     		ar = 29708.5744199536m²