Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58325 / 89425
↖ ↑ ↗
← S 54.700820°
W 19.805603°		 ← 176.45 m → S 54.700820°
W 19.802857°		 →
↑
176.48 m
↓
↑
176.48 m
↓
S 54.702408°
W 19.805603°		 ← 176.45 m →
31 139 m²		 S 54.702408°
W 19.802857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444988250732422 y=0.682262420654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444988250732422 × 217)
    floor (0.444988250732422 × 131072)
    floor (58325.5)     		tx = 58325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682262420654297 × 217)
    floor (0.682262420654297 × 131072)
    floor (89425.5)     		ty = 89425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58325 / 89425 ti = "17/58325/89425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58325/89425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58325 ÷ 217
    58325 ÷ 131072     		x = 0.444984436035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89425 ÷ 217
    89425 ÷ 131072     		y = 0.682258605957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444984436035156 × 2 - 1) × π
    -0.110031127929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.34567298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682258605957031 × 2 - 1) × π
    -0.364517211914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.14516459502352
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34567298} λ = -0.34567298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14516459502352))-π/2
    2×atan(0.318171544027534)-π/2
    2×0.308043451370052-π/2
    0.616086902740104-1.57079632675     		φ = -0.95470942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34567298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.805603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95470942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.700820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58325 KachelY 89425 -0.34567298 -0.95470942 -19.805603 -54.700820
    Oben rechts KachelX + 1 58326 KachelY 89425 -0.34562505 -0.95470942 -19.802857 -54.700820
    Unten links KachelX 58325 KachelY + 1 89426 -0.34567298 -0.95473712 -19.805603 -54.702408
    Unten rechts KachelX + 1 58326 KachelY + 1 89426 -0.34562505 -0.95473712 -19.802857 -54.702408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95470942--0.95473712) × R
    2.76999999999639e-05 × 6371000     		dl = 176.47669999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95470942--0.95473712) × R
    2.76999999999639e-05 × 6371000     		dr = 176.47669999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34567298--0.34562505) × cos(-0.95470942) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.577845937920263 × 6371000     		do = 176.452208630693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34567298--0.34562505) × cos(-0.95473712) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.577823330458133 × 6371000     		du = 176.445305170164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95470942)-sin(-0.95473712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577845937920263-0.577823330458133)×R²
    abs(-0.34562505--0.34567298)×2.26074621294536e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26074621294536e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26074621294536e-05×40589641000000     		ar = 31139.094338795m²