Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58323 / 88830
↖ ↑ ↗
← S 53.745463°
W 19.811096°		 ← 180.62 m → S 53.745463°
W 19.808350°		 →
↑
180.62 m
↓
↑
180.62 m
↓
S 53.747087°
W 19.811096°		 ← 180.61 m →
32 623 m²		 S 53.747087°
W 19.808350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444972991943359 y=0.677722930908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444972991943359 × 217)
    floor (0.444972991943359 × 131072)
    floor (58323.5)     		tx = 58323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677722930908203 × 217)
    floor (0.677722930908203 × 131072)
    floor (88830.5)     		ty = 88830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58323 / 88830 ti = "17/58323/88830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58323/88830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58323 ÷ 217
    58323 ÷ 131072     		x = 0.444969177246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88830 ÷ 217
    88830 ÷ 131072     		y = 0.677719116210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444969177246094 × 2 - 1) × π
    -0.110061645507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.34576886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677719116210938 × 2 - 1) × π
    -0.355438232421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.11664213974959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34576886} λ = -0.34576886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11664213974959))-π/2
    2×atan(0.32737723807563)-π/2
    2×0.316380524869752-π/2
    0.632761049739505-1.57079632675     		φ = -0.93803528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34576886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.811096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93803528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.745463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58323 KachelY 88830 -0.34576886 -0.93803528 -19.811096 -53.745463
    Oben rechts KachelX + 1 58324 KachelY 88830 -0.34572092 -0.93803528 -19.808350 -53.745463
    Unten links KachelX 58323 KachelY + 1 88831 -0.34576886 -0.93806363 -19.811096 -53.747087
    Unten rechts KachelX + 1 58324 KachelY + 1 88831 -0.34572092 -0.93806363 -19.808350 -53.747087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93803528--0.93806363) × R
    2.83500000000103e-05 × 6371000     		dl = 180.617850000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93803528--0.93806363) × R
    2.83500000000103e-05 × 6371000     		dr = 180.617850000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34576886--0.34572092) × cos(-0.93803528) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.591373511234075 × 6371000     		do = 180.620692285156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34576886--0.34572092) × cos(-0.93806363) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.59135064961953 × 6371000     		du = 180.613709759616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93803528)-sin(-0.93806363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591373511234075-0.59135064961953)×R²
    abs(-0.34572092--0.34576886)×2.28616145452332e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.28616145452332e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.28616145452332e-05×40589641000000     		ar = 32622.6905239707m²