Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58321 / 87497
↖ ↑ ↗
← S 51.524125°
W 19.816589°		 ← 190.03 m → S 51.524125°
W 19.813843°		 →
↑
189.98 m
↓
↑
189.98 m
↓
S 51.525834°
W 19.816589°		 ← 190.02 m →
36 102 m²		 S 51.525834°
W 19.813843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444957733154297 y=0.667552947998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444957733154297 × 217)
    floor (0.444957733154297 × 131072)
    floor (58321.5)     		tx = 58321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667552947998047 × 217)
    floor (0.667552947998047 × 131072)
    floor (87497.5)     		ty = 87497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58321 / 87497 ti = "17/58321/87497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58321/87497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58321 ÷ 217
    58321 ÷ 131072     		x = 0.444953918457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87497 ÷ 217
    87497 ÷ 131072     		y = 0.667549133300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444953918457031 × 2 - 1) × π
    -0.110092163085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.34586473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667549133300781 × 2 - 1) × π
    -0.335098266601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.05274225255605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34586473} λ = -0.34586473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05274225255605))-π/2
    2×atan(0.348979445979335)-π/2
    2×0.335765350704358-π/2
    0.671530701408716-1.57079632675     		φ = -0.89926563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34586473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.816589°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89926563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.524125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58321 KachelY 87497 -0.34586473 -0.89926563 -19.816589 -51.524125
    Oben rechts KachelX + 1 58322 KachelY 87497 -0.34581679 -0.89926563 -19.813843 -51.524125
    Unten links KachelX 58321 KachelY + 1 87498 -0.34586473 -0.89929545 -19.816589 -51.525834
    Unten rechts KachelX + 1 58322 KachelY + 1 87498 -0.34581679 -0.89929545 -19.813843 -51.525834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89926563--0.89929545) × R
    2.98199999999582e-05 × 6371000     		dl = 189.983219999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89926563--0.89929545) × R
    2.98199999999582e-05 × 6371000     		dr = 189.983219999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34586473--0.34581679) × cos(-0.89926563) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.62218505238468 × 6371000     		do = 190.031330041625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34586473--0.34581679) × cos(-0.89929545) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.622161706918485 × 6371000     		du = 190.024199735337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89926563)-sin(-0.89929545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62218505238468-0.622161706918485)×R²
    abs(-0.34581679--0.34586473)×2.33454661948684e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33454661948684e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33454661948684e-05×40589641000000     		ar = 36102.0866654551m²