Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58314 / 87445
↖ ↑ ↗
← S 51.435176°
W 19.835815°		 ← 190.40 m → S 51.435176°
W 19.833069°		 →
↑
190.37 m
↓
↑
190.37 m
↓
S 51.436888°
W 19.835815°		 ← 190.40 m →
36 245 m²		 S 51.436888°
W 19.833069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444904327392578 y=0.667156219482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444904327392578 × 217)
    floor (0.444904327392578 × 131072)
    floor (58314.5)     		tx = 58314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667156219482422 × 217)
    floor (0.667156219482422 × 131072)
    floor (87445.5)     		ty = 87445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58314 / 87445 ti = "17/58314/87445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58314/87445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58314 ÷ 217
    58314 ÷ 131072     		x = 0.444900512695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87445 ÷ 217
    87445 ÷ 131072     		y = 0.667152404785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444900512695312 × 2 - 1) × π
    -0.110198974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34620029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667152404785156 × 2 - 1) × π
    -0.334304809570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.05024953377581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34620029} λ = -0.34620029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05024953377581))-π/2
    2×atan(0.34985043871722)-π/2
    2×0.336541573723625-π/2
    0.673083147447251-1.57079632675     		φ = -0.89771318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34620029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.835815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89771318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.435176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58314 KachelY 87445 -0.34620029 -0.89771318 -19.835815 -51.435176
    Oben rechts KachelX + 1 58315 KachelY 87445 -0.34615235 -0.89771318 -19.833069 -51.435176
    Unten links KachelX 58314 KachelY + 1 87446 -0.34620029 -0.89774306 -19.835815 -51.436888
    Unten rechts KachelX + 1 58315 KachelY + 1 87446 -0.34615235 -0.89774306 -19.833069 -51.436888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89771318--0.89774306) × R
    2.98800000000377e-05 × 6371000     		dl = 190.36548000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89771318--0.89774306) × R
    2.98800000000377e-05 × 6371000     		dr = 190.36548000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34620029--0.34615235) × cos(-0.89771318) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.62339966898467 × 6371000     		do = 190.402305215494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34620029--0.34615235) × cos(-0.89774306) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.62337630543421 × 6371000     		du = 190.395169385805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89771318)-sin(-0.89774306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62339966898467-0.62337630543421)×R²
    abs(-0.34615235--0.34620029)×2.3363550460509e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3363550460509e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3363550460509e-05×40589641000000     		ar = 36245.3470205347m²