Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58312 / 87800
↖ ↑ ↗
← S 52.038977°
W 19.841308°		 ← 187.84 m → S 52.038977°
W 19.838562°		 →
↑
187.88 m
↓
↑
187.88 m
↓
S 52.040666°
W 19.841308°		 ← 187.83 m →
35 290 m²		 S 52.040666°
W 19.838562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444889068603516 y=0.669864654541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444889068603516 × 217)
    floor (0.444889068603516 × 131072)
    floor (58312.5)     		tx = 58312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669864654541016 × 217)
    floor (0.669864654541016 × 131072)
    floor (87800.5)     		ty = 87800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58312 / 87800 ti = "17/58312/87800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58312/87800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58312 ÷ 217
    58312 ÷ 131072     		x = 0.44488525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87800 ÷ 217
    87800 ÷ 131072     		y = 0.66986083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44488525390625 × 2 - 1) × π
    -0.1102294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34629616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66986083984375 × 2 - 1) × π
    -0.3397216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.06726713314093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34629616} λ = -0.34629616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06726713314093))-π/2
    2×atan(0.343947196086035)-π/2
    2×0.331272423035376-π/2
    0.662544846070752-1.57079632675     		φ = -0.90825148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34629616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.841308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90825148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.038977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58312 KachelY 87800 -0.34629616 -0.90825148 -19.841308 -52.038977
    Oben rechts KachelX + 1 58313 KachelY 87800 -0.34624823 -0.90825148 -19.838562 -52.038977
    Unten links KachelX 58312 KachelY + 1 87801 -0.34629616 -0.90828097 -19.841308 -52.040666
    Unten rechts KachelX + 1 58313 KachelY + 1 87801 -0.34624823 -0.90828097 -19.838562 -52.040666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90825148--0.90828097) × R
    2.94899999999654e-05 × 6371000     		dl = 187.880789999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90825148--0.90828097) × R
    2.94899999999654e-05 × 6371000     		dr = 187.880789999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34629616--0.34624823) × cos(-0.90825148) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.615125273655304 × 6371000     		do = 187.835902267804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34629616--0.34624823) × cos(-0.90828097) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.61510202260522 × 6371000     		du = 187.828802279951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90825148)-sin(-0.90828097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615125273655304-0.61510202260522)×R²
    abs(-0.34624823--0.34629616)×2.32510500833838e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32510500833838e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32510500833838e-05×40589641000000     		ar = 35290.0907351163m²