Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58306 / 89510
↖ ↑ ↗
← S 54.835500°
W 19.857788°		 ← 175.87 m → S 54.835500°
W 19.855042°		 →
↑
175.90 m
↓
↑
175.90 m
↓
S 54.837082°
W 19.857788°		 ← 175.86 m →
30 935 m²		 S 54.837082°
W 19.855042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444843292236328 y=0.682910919189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444843292236328 × 217)
    floor (0.444843292236328 × 131072)
    floor (58306.5)     		tx = 58306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682910919189453 × 217)
    floor (0.682910919189453 × 131072)
    floor (89510.5)     		ty = 89510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58306 / 89510 ti = "17/58306/89510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58306/89510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58306 ÷ 217
    58306 ÷ 131072     		x = 0.444839477539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89510 ÷ 217
    89510 ÷ 131072     		y = 0.682907104492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444839477539062 × 2 - 1) × π
    -0.110321044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34658378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682907104492188 × 2 - 1) × π
    -0.365814208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.14923923149123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34658378} λ = -0.34658378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14923923149123))-π/2
    2×atan(0.316877748314887)-π/2
    2×0.306868151707432-π/2
    0.613736303414864-1.57079632675     		φ = -0.95706002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34658378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.857788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95706002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.835500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58306 KachelY 89510 -0.34658378 -0.95706002 -19.857788 -54.835500
    Oben rechts KachelX + 1 58307 KachelY 89510 -0.34653585 -0.95706002 -19.855042 -54.835500
    Unten links KachelX 58306 KachelY + 1 89511 -0.34658378 -0.95708763 -19.857788 -54.837082
    Unten rechts KachelX + 1 58307 KachelY + 1 89511 -0.34653585 -0.95708763 -19.855042 -54.837082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95706002--0.95708763) × R
    2.76099999999557e-05 × 6371000     		dl = 175.903309999718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95706002--0.95708763) × R
    2.76099999999557e-05 × 6371000     		dr = 175.903309999718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34658378--0.34653585) × cos(-0.95706002) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.57592591082676 × 6371000     		do = 175.865905259766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34658378--0.34653585) × cos(-0.95708763) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.575903339379977 × 6371000     		du = 175.859012796956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95706002)-sin(-0.95708763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57592591082676-0.575903339379977)×R²
    abs(-0.34653585--0.34658378)×2.25714467834148e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.25714467834148e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.25714467834148e-05×40589641000000     		ar = 30934.7886498316m²