Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58306 / 89506
↖ ↑ ↗
← S 54.829172°
W 19.857788°		 ← 175.89 m → S 54.829172°
W 19.855042°		 →
↑
175.90 m
↓
↑
175.90 m
↓
S 54.830754°
W 19.857788°		 ← 175.89 m →
30 940 m²		 S 54.830754°
W 19.855042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444843292236328 y=0.682880401611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444843292236328 × 217)
    floor (0.444843292236328 × 131072)
    floor (58306.5)     		tx = 58306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682880401611328 × 217)
    floor (0.682880401611328 × 131072)
    floor (89506.5)     		ty = 89506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58306 / 89506 ti = "17/58306/89506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58306/89506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58306 ÷ 217
    58306 ÷ 131072     		x = 0.444839477539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89506 ÷ 217
    89506 ÷ 131072     		y = 0.682876586914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444839477539062 × 2 - 1) × π
    -0.110321044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34658378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682876586914062 × 2 - 1) × π
    -0.365753173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.14904748389275
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34658378} λ = -0.34658378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14904748389275))-π/2
    2×atan(0.316938514687855)-π/2
    2×0.306923372240114-π/2
    0.613846744480228-1.57079632675     		φ = -0.95694958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34658378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.857788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95694958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.829172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58306 KachelY 89506 -0.34658378 -0.95694958 -19.857788 -54.829172
    Oben rechts KachelX + 1 58307 KachelY 89506 -0.34653585 -0.95694958 -19.855042 -54.829172
    Unten links KachelX 58306 KachelY + 1 89507 -0.34658378 -0.95697719 -19.857788 -54.830754
    Unten rechts KachelX + 1 58307 KachelY + 1 89507 -0.34653585 -0.95697719 -19.855042 -54.830754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95694958--0.95697719) × R
    2.76100000000667e-05 × 6371000     		dl = 175.903310000425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95694958--0.95697719) × R
    2.76100000000667e-05 × 6371000     		dr = 175.903310000425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34658378--0.34653585) × cos(-0.95694958) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.57601619222337 × 6371000     		do = 175.893473770306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34658378--0.34653585) × cos(-0.95697719) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.57599362253283 × 6371000     		du = 175.886581843787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95694958)-sin(-0.95697719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57601619222337-0.57599362253283)×R²
    abs(-0.34653585--0.34658378)×2.25696905391537e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.25696905391537e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.25696905391537e-05×40589641000000     		ar = 30939.6380892584m²