Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58305 / 89421
↖ ↑ ↗
← S 54.694471°
W 19.860535°		 ← 176.52 m → S 54.694471°
W 19.857788°		 →
↑
176.54 m
↓
↑
176.54 m
↓
S 54.696059°
W 19.860535°		 ← 176.51 m →
31 162 m²		 S 54.696059°
W 19.857788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444835662841797 y=0.682231903076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444835662841797 × 217)
    floor (0.444835662841797 × 131072)
    floor (58305.5)     		tx = 58305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682231903076172 × 217)
    floor (0.682231903076172 × 131072)
    floor (89421.5)     		ty = 89421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58305 / 89421 ti = "17/58305/89421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58305/89421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58305 ÷ 217
    58305 ÷ 131072     		x = 0.444831848144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89421 ÷ 217
    89421 ÷ 131072     		y = 0.682228088378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444831848144531 × 2 - 1) × π
    -0.110336303710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.34663172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682228088378906 × 2 - 1) × π
    -0.364456176757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.14497284742504
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34663172} λ = -0.34663172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14497284742504))-π/2
    2×atan(0.318232558506509)-π/2
    2×0.308098855990198-π/2
    0.616197711980396-1.57079632675     		φ = -0.95459861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34663172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.860535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95459861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.694471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58305 KachelY 89421 -0.34663172 -0.95459861 -19.860535 -54.694471
    Oben rechts KachelX + 1 58306 KachelY 89421 -0.34658378 -0.95459861 -19.857788 -54.694471
    Unten links KachelX 58305 KachelY + 1 89422 -0.34663172 -0.95462632 -19.860535 -54.696059
    Unten rechts KachelX + 1 58306 KachelY + 1 89422 -0.34658378 -0.95462632 -19.857788 -54.696059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95459861--0.95462632) × R
    2.77100000000141e-05 × 6371000     		dl = 176.54041000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95459861--0.95462632) × R
    2.77100000000141e-05 × 6371000     		dr = 176.54041000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34663172--0.34658378) × cos(-0.95459861) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.577936371495672 × 6371000     		do = 176.516643936865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34663172--0.34658378) × cos(-0.95462632) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.57791375764633 × 6371000     		du = 176.509737085195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95459861)-sin(-0.95462632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577936371495672-0.57791375764633)×R²
    abs(-0.34658378--0.34663172)×2.26138493421013e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26138493421013e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26138493421013e-05×40589641000000     		ar = 31161.7110253769m²