Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58304 / 87616
↖ ↑ ↗
← S 51.727028°
W 19.863281°		 ← 189.18 m → S 51.727028°
W 19.860535°		 →
↑
189.22 m
↓
↑
189.22 m
↓
S 51.728730°
W 19.863281°		 ← 189.18 m →
35 796 m²		 S 51.728730°
W 19.860535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444828033447266 y=0.668460845947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444828033447266 × 217)
    floor (0.444828033447266 × 131072)
    floor (58304.5)     		tx = 58304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668460845947266 × 217)
    floor (0.668460845947266 × 131072)
    floor (87616.5)     		ty = 87616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58304 / 87616 ti = "17/58304/87616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58304/87616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58304 ÷ 217
    58304 ÷ 131072     		x = 0.44482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87616 ÷ 217
    87616 ÷ 131072     		y = 0.66845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44482421875 × 2 - 1) × π
    -0.1103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34667966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66845703125 × 2 - 1) × π
    -0.3369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.05844674361084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34667966} λ = -0.34667966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05844674361084))-π/2
    2×atan(0.346994363178064)-π/2
    2×0.333994686600669-π/2
    0.667989373201338-1.57079632675     		φ = -0.90280695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34667966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.863281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90280695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.727028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58304 KachelY 87616 -0.34667966 -0.90280695 -19.863281 -51.727028
    Oben rechts KachelX + 1 58305 KachelY 87616 -0.34663172 -0.90280695 -19.860535 -51.727028
    Unten links KachelX 58304 KachelY + 1 87617 -0.34667966 -0.90283665 -19.863281 -51.728730
    Unten rechts KachelX + 1 58305 KachelY + 1 87617 -0.34663172 -0.90283665 -19.860535 -51.728730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90280695--0.90283665) × R
    2.97000000000214e-05 × 6371000     		dl = 189.218700000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90280695--0.90283665) × R
    2.97000000000214e-05 × 6371000     		dr = 189.218700000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34667966--0.34663172) × cos(-0.90280695) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.619408762868 × 6371000     		do = 189.183379761538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34667966--0.34663172) × cos(-0.90283665) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.619385446055925 × 6371000     		du = 189.176258206956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90280695)-sin(-0.90283665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619408762868-0.619385446055925)×R²
    abs(-0.34663172--0.34667966)×2.33168120749028e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33168120749028e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33168120749028e-05×40589641000000     		ar = 35796.3594171035m²