Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58298 / 88874
↖ ↑ ↗
← S 53.816869°
W 19.879761°		 ← 180.31 m → S 53.816869°
W 19.877014°		 →
↑
180.30 m
↓
↑
180.30 m
↓
S 53.818491°
W 19.879761°		 ← 180.31 m →
32 510 m²		 S 53.818491°
W 19.877014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444782257080078 y=0.678058624267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444782257080078 × 217)
    floor (0.444782257080078 × 131072)
    floor (58298.5)     		tx = 58298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678058624267578 × 217)
    floor (0.678058624267578 × 131072)
    floor (88874.5)     		ty = 88874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58298 / 88874 ti = "17/58298/88874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58298/88874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58298 ÷ 217
    58298 ÷ 131072     		x = 0.444778442382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88874 ÷ 217
    88874 ÷ 131072     		y = 0.678054809570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444778442382812 × 2 - 1) × π
    -0.110443115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34696728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678054809570312 × 2 - 1) × π
    -0.356109619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.11875136333287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34696728} λ = -0.34696728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11875136333287))-π/2
    2×atan(0.326687453994604)-π/2
    2×0.315757385641187-π/2
    0.631514771282374-1.57079632675     		φ = -0.93928156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34696728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.879761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93928156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.816869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58298 KachelY 88874 -0.34696728 -0.93928156 -19.879761 -53.816869
    Oben rechts KachelX + 1 58299 KachelY 88874 -0.34691934 -0.93928156 -19.877014 -53.816869
    Unten links KachelX 58298 KachelY + 1 88875 -0.34696728 -0.93930986 -19.879761 -53.818491
    Unten rechts KachelX + 1 58299 KachelY + 1 88875 -0.34691934 -0.93930986 -19.877014 -53.818491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93928156--0.93930986) × R
    2.83000000000921e-05 × 6371000     		dl = 180.299300000587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93928156--0.93930986) × R
    2.83000000000921e-05 × 6371000     		dr = 180.299300000587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34696728--0.34691934) × cos(-0.93928156) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.590368054811525 × 6371000     		do = 180.313600013052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34696728--0.34691934) × cos(-0.93930986) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.590345212678257 × 6371000     		du = 180.306623437596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93928156)-sin(-0.93930986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590368054811525-0.590345212678257)×R²
    abs(-0.34691934--0.34696728)×2.28421332685302e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28421332685302e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28421332685302e-05×40589641000000     		ar = 32509.7869292868m²