Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58295 / 90057
↖ ↑ ↗
← S 55.691520°
W 19.888000°		 ← 172.15 m → S 55.691520°
W 19.885254°		 →
↑
172.14 m
↓
↑
172.14 m
↓
S 55.693068°
W 19.888000°		 ← 172.15 m →
29 635 m²		 S 55.693068°
W 19.885254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444759368896484 y=0.687084197998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444759368896484 × 217)
    floor (0.444759368896484 × 131072)
    floor (58295.5)     		tx = 58295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687084197998047 × 217)
    floor (0.687084197998047 × 131072)
    floor (90057.5)     		ty = 90057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58295 / 90057 ti = "17/58295/90057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58295/90057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58295 ÷ 217
    58295 ÷ 131072     		x = 0.444755554199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90057 ÷ 217
    90057 ÷ 131072     		y = 0.687080383300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444755554199219 × 2 - 1) × π
    -0.110488891601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.34711109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687080383300781 × 2 - 1) × π
    -0.374160766601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.1754607155834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34711109} λ = -0.34711109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1754607155834))-π/2
    2×atan(0.308676734741377)-π/2
    2×0.299397969988923-π/2
    0.598795939977847-1.57079632675     		φ = -0.97200039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34711109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.888000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97200039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.691520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58295 KachelY 90057 -0.34711109 -0.97200039 -19.888000 -55.691520
    Oben rechts KachelX + 1 58296 KachelY 90057 -0.34706315 -0.97200039 -19.885254 -55.691520
    Unten links KachelX 58295 KachelY + 1 90058 -0.34711109 -0.97202741 -19.888000 -55.693068
    Unten rechts KachelX + 1 58296 KachelY + 1 90058 -0.34706315 -0.97202741 -19.885254 -55.693068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97200039--0.97202741) × R
    2.70199999999887e-05 × 6371000     		dl = 172.144419999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97200039--0.97202741) × R
    2.70199999999887e-05 × 6371000     		dr = 172.144419999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34711109--0.34706315) × cos(-0.97200039) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.563648308089078 × 6371000     		do = 172.152701597941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34711109--0.34706315) × cos(-0.97202741) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.563625988961223 × 6371000     		du = 172.1458847618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97200039)-sin(-0.97202741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563648308089078-0.563625988961223)×R²
    abs(-0.34706315--0.34711109)×2.23191278549972e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23191278549972e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23191278549972e-05×40589641000000     		ar = 29634.5402296162m²