Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58295 / 87626
↖ ↑ ↗
← S 51.744037°
W 19.888000°		 ← 189.11 m → S 51.744037°
W 19.885254°		 →
↑
189.09 m
↓
↑
189.09 m
↓
S 51.745738°
W 19.888000°		 ← 189.11 m →
35 759 m²		 S 51.745738°
W 19.885254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444759368896484 y=0.668537139892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444759368896484 × 217)
    floor (0.444759368896484 × 131072)
    floor (58295.5)     		tx = 58295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668537139892578 × 217)
    floor (0.668537139892578 × 131072)
    floor (87626.5)     		ty = 87626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58295 / 87626 ti = "17/58295/87626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58295/87626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58295 ÷ 217
    58295 ÷ 131072     		x = 0.444755554199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87626 ÷ 217
    87626 ÷ 131072     		y = 0.668533325195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444755554199219 × 2 - 1) × π
    -0.110488891601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.34711109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668533325195312 × 2 - 1) × π
    -0.337066650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.05892611260704
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34711109} λ = -0.34711109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05892611260704))-π/2
    2×atan(0.346828064700852)-π/2
    2×0.333846251857616-π/2
    0.667692503715233-1.57079632675     		φ = -0.90310382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34711109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.888000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90310382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.744037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58295 KachelY 87626 -0.34711109 -0.90310382 -19.888000 -51.744037
    Oben rechts KachelX + 1 58296 KachelY 87626 -0.34706315 -0.90310382 -19.885254 -51.744037
    Unten links KachelX 58295 KachelY + 1 87627 -0.34711109 -0.90313350 -19.888000 -51.745738
    Unten rechts KachelX + 1 58296 KachelY + 1 87627 -0.34706315 -0.90313350 -19.885254 -51.745738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90310382--0.90313350) × R
    2.96800000000319e-05 × 6371000     		dl = 189.091280000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90310382--0.90313350) × R
    2.96800000000319e-05 × 6371000     		dr = 189.091280000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34711109--0.34706315) × cos(-0.90310382) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.619175672246633 × 6371000     		do = 189.11218788602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34711109--0.34706315) × cos(-0.90313350) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.619152365679755 × 6371000     		du = 189.105069460585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90310382)-sin(-0.90313350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619175672246633-0.619152365679755)×R²
    abs(-0.34706315--0.34711109)×2.33065668781007e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33065668781007e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33065668781007e-05×40589641000000     		ar = 35758.7926576495m²