Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58287 / 90050
↖ ↑ ↗
← S 55.680681°
W 19.909973°		 ← 172.20 m → S 55.680681°
W 19.907227°		 →
↑
172.21 m
↓
↑
172.21 m
↓
S 55.682230°
W 19.909973°		 ← 172.19 m →
29 654 m²		 S 55.682230°
W 19.907227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444698333740234 y=0.687030792236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444698333740234 × 217)
    floor (0.444698333740234 × 131072)
    floor (58287.5)     		tx = 58287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687030792236328 × 217)
    floor (0.687030792236328 × 131072)
    floor (90050.5)     		ty = 90050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58287 / 90050 ti = "17/58287/90050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58287/90050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58287 ÷ 217
    58287 ÷ 131072     		x = 0.444694519042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90050 ÷ 217
    90050 ÷ 131072     		y = 0.687026977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444694519042969 × 2 - 1) × π
    -0.110610961914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.34749459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687026977539062 × 2 - 1) × π
    -0.374053955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.17512515728606
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34749459} λ = -0.34749459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17512515728606))-π/2
    2×atan(0.308780331161262)-π/2
    2×0.299492551529349-π/2
    0.598985103058698-1.57079632675     		φ = -0.97181122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34749459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.909973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97181122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.680681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58287 KachelY 90050 -0.34749459 -0.97181122 -19.909973 -55.680681
    Oben rechts KachelX + 1 58288 KachelY 90050 -0.34744665 -0.97181122 -19.907227 -55.680681
    Unten links KachelX 58287 KachelY + 1 90051 -0.34749459 -0.97183825 -19.909973 -55.682230
    Unten rechts KachelX + 1 58288 KachelY + 1 90051 -0.34744665 -0.97183825 -19.907227 -55.682230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97181122--0.97183825) × R
    2.7030000000039e-05 × 6371000     		dl = 172.208130000248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97181122--0.97183825) × R
    2.7030000000039e-05 × 6371000     		dr = 172.208130000248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34749459--0.34744665) × cos(-0.97181122) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.563804555238159 × 6371000     		do = 172.200423498873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34749459--0.34744665) × cos(-0.97183825) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.563782230732428 × 6371000     		du = 172.19360502019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97181122)-sin(-0.97183825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563804555238159-0.563782230732428)×R²
    abs(-0.34744665--0.34749459)×2.23245057305865e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.23245057305865e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.23245057305865e-05×40589641000000     		ar = 29653.7258191076m²