Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58286 / 88784
↖ ↑ ↗
← S 53.670680°
W 19.912720°		 ← 180.90 m → S 53.670680°
W 19.909973°		 →
↑
180.94 m
↓
↑
180.94 m
↓
S 53.672307°
W 19.912720°		 ← 180.90 m →
32 732 m²		 S 53.672307°
W 19.909973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444690704345703 y=0.677371978759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444690704345703 × 217)
    floor (0.444690704345703 × 131072)
    floor (58286.5)     		tx = 58286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677371978759766 × 217)
    floor (0.677371978759766 × 131072)
    floor (88784.5)     		ty = 88784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58286 / 88784 ti = "17/58286/88784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58286/88784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58286 ÷ 217
    58286 ÷ 131072     		x = 0.444686889648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88784 ÷ 217
    88784 ÷ 131072     		y = 0.6773681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444686889648438 × 2 - 1) × π
    -0.110626220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34754252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6773681640625 × 2 - 1) × π
    -0.354736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.11443704236707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34754252} λ = -0.34754252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11443704236707))-π/2
    2×atan(0.328099933280221)-π/2
    2×0.317033122826381-π/2
    0.634066245652762-1.57079632675     		φ = -0.93673008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34754252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.912720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93673008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.670680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58286 KachelY 88784 -0.34754252 -0.93673008 -19.912720 -53.670680
    Oben rechts KachelX + 1 58287 KachelY 88784 -0.34749459 -0.93673008 -19.909973 -53.670680
    Unten links KachelX 58286 KachelY + 1 88785 -0.34754252 -0.93675848 -19.912720 -53.672307
    Unten rechts KachelX + 1 58287 KachelY + 1 88785 -0.34749459 -0.93675848 -19.909973 -53.672307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93673008--0.93675848) × R
    2.83999999999285e-05 × 6371000     		dl = 180.936399999544m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93673008--0.93675848) × R
    2.83999999999285e-05 × 6371000     		dr = 180.936399999544m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34754252--0.34749459) × cos(-0.93673008) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.592425517593882 × 6371000     		do = 180.904258676379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34754252--0.34749459) × cos(-0.93675848) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.59240263759853 × 6371000     		du = 180.897271994552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93673008)-sin(-0.93675848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592425517593882-0.59240263759853)×R²
    abs(-0.34749459--0.34754252)×2.28799953522207e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.28799953522207e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.28799953522207e-05×40589641000000     		ar = 32731.533239307m²