Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58286 / 88662
↖ ↑ ↗
← S 53.471700°
W 19.912720°		 ← 181.76 m → S 53.471700°
W 19.909973°		 →
↑
181.76 m
↓
↑
181.76 m
↓
S 53.473335°
W 19.912720°		 ← 181.75 m →
33 036 m²		 S 53.473335°
W 19.909973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444690704345703 y=0.676441192626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444690704345703 × 217)
    floor (0.444690704345703 × 131072)
    floor (58286.5)     		tx = 58286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676441192626953 × 217)
    floor (0.676441192626953 × 131072)
    floor (88662.5)     		ty = 88662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58286 / 88662 ti = "17/58286/88662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58286/88662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58286 ÷ 217
    58286 ÷ 131072     		x = 0.444686889648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88662 ÷ 217
    88662 ÷ 131072     		y = 0.676437377929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444686889648438 × 2 - 1) × π
    -0.110626220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34754252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676437377929688 × 2 - 1) × π
    -0.352874755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.10858874061342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34754252} λ = -0.34754252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10858874061342))-π/2
    2×atan(0.330024382590433)-π/2
    2×0.318769548348779-π/2
    0.637539096697558-1.57079632675     		φ = -0.93325723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34754252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.912720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93325723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.471700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58286 KachelY 88662 -0.34754252 -0.93325723 -19.912720 -53.471700
    Oben rechts KachelX + 1 58287 KachelY 88662 -0.34749459 -0.93325723 -19.909973 -53.471700
    Unten links KachelX 58286 KachelY + 1 88663 -0.34754252 -0.93328576 -19.912720 -53.473335
    Unten rechts KachelX + 1 58287 KachelY + 1 88663 -0.34749459 -0.93328576 -19.909973 -53.473335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93325723--0.93328576) × R
    2.85299999999156e-05 × 6371000     		dl = 181.764629999462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93325723--0.93328576) × R
    2.85299999999156e-05 × 6371000     		dr = 181.764629999462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34754252--0.34749459) × cos(-0.93325723) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.595219755013135 × 6371000     		do = 181.757512687025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34754252--0.34749459) × cos(-0.93328576) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.595196829119424 × 6371000     		du = 181.750511989582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93325723)-sin(-0.93328576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595219755013135-0.595196829119424)×R²
    abs(-0.34749459--0.34754252)×2.29258937114452e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29258937114452e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29258937114452e-05×40589641000000     		ar = 33036.4508058642m²