Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58285 / 88897
↖ ↑ ↗
← S 53.854147°
W 19.915466°		 ← 180.15 m → S 53.854147°
W 19.912720°		 →
↑
180.11 m
↓
↑
180.11 m
↓
S 53.855767°
W 19.915466°		 ← 180.15 m →
32 446 m²		 S 53.855767°
W 19.912720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444683074951172 y=0.678234100341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444683074951172 × 217)
    floor (0.444683074951172 × 131072)
    floor (58285.5)     		tx = 58285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678234100341797 × 217)
    floor (0.678234100341797 × 131072)
    floor (88897.5)     		ty = 88897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58285 / 88897 ti = "17/58285/88897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58285/88897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58285 ÷ 217
    58285 ÷ 131072     		x = 0.444679260253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88897 ÷ 217
    88897 ÷ 131072     		y = 0.678230285644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444679260253906 × 2 - 1) × π
    -0.110641479492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.34759046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678230285644531 × 2 - 1) × π
    -0.356460571289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.11985391202413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34759046} λ = -0.34759046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11985391202413))-π/2
    2×atan(0.326327463659654)-π/2
    2×0.315432075667967-π/2
    0.630864151335934-1.57079632675     		φ = -0.93993218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34759046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.915466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93993218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.854147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58285 KachelY 88897 -0.34759046 -0.93993218 -19.915466 -53.854147
    Oben rechts KachelX + 1 58286 KachelY 88897 -0.34754252 -0.93993218 -19.912720 -53.854147
    Unten links KachelX 58285 KachelY + 1 88898 -0.34759046 -0.93996045 -19.915466 -53.855767
    Unten rechts KachelX + 1 58286 KachelY + 1 88898 -0.34754252 -0.93996045 -19.912720 -53.855767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93993218--0.93996045) × R
    2.82699999999414e-05 × 6371000     		dl = 180.108169999627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93993218--0.93996045) × R
    2.82699999999414e-05 × 6371000     		dr = 180.108169999627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34759046--0.34754252) × cos(-0.93993218) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.589842792265045 × 6371000     		do = 180.1531713111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34759046--0.34754252) × cos(-0.93996045) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.589819963492687 × 6371000     		du = 180.146198816409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93993218)-sin(-0.93996045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589842792265045-0.589819963492687)×R²
    abs(-0.34754252--0.34759046)×2.28287723581522e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28287723581522e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28287723581522e-05×40589641000000     		ar = 32446.4301048852m²