Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58284 / 89658
↖ ↑ ↗
← S 55.068932°
W 19.918213°		 ← 174.88 m → S 55.068932°
W 19.915466°		 →
↑
174.88 m
↓
↑
174.88 m
↓
S 55.070505°
W 19.918213°		 ← 174.88 m →
30 584 m²		 S 55.070505°
W 19.915466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444675445556641 y=0.684040069580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444675445556641 × 217)
    floor (0.444675445556641 × 131072)
    floor (58284.5)     		tx = 58284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684040069580078 × 217)
    floor (0.684040069580078 × 131072)
    floor (89658.5)     		ty = 89658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58284 / 89658 ti = "17/58284/89658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58284/89658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58284 ÷ 217
    58284 ÷ 131072     		x = 0.444671630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89658 ÷ 217
    89658 ÷ 131072     		y = 0.684036254882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444671630859375 × 2 - 1) × π
    -0.11065673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34763840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684036254882812 × 2 - 1) × π
    -0.368072509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.15633389263499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34763840} λ = -0.34763840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15633389263499))-π/2
    2×atan(0.314637564136899)-π/2
    2×0.304831070928443-π/2
    0.609662141856885-1.57079632675     		φ = -0.96113418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34763840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.918213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96113418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.068932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58284 KachelY 89658 -0.34763840 -0.96113418 -19.918213 -55.068932
    Oben rechts KachelX + 1 58285 KachelY 89658 -0.34759046 -0.96113418 -19.915466 -55.068932
    Unten links KachelX 58284 KachelY + 1 89659 -0.34763840 -0.96116163 -19.918213 -55.070505
    Unten rechts KachelX + 1 58285 KachelY + 1 89659 -0.34759046 -0.96116163 -19.915466 -55.070505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96113418--0.96116163) × R
    2.74500000000399e-05 × 6371000     		dl = 174.883950000254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96113418--0.96116163) × R
    2.74500000000399e-05 × 6371000     		dr = 174.883950000254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34763840--0.34759046) × cos(-0.96113418) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.572590506700947 × 6371000     		do = 174.883879226199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34763840--0.34759046) × cos(-0.96116163) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.572568001835606 × 6371000     		du = 174.877005661049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96113418)-sin(-0.96116163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572590506700947-0.572568001835606)×R²
    abs(-0.34759046--0.34763840)×2.25048653402782e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25048653402782e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25048653402782e-05×40589641000000     		ar = 30583.7825543774m²