Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58281 / 89497
↖ ↑ ↗
← S 54.814931°
W 19.926453°		 ← 175.99 m → S 54.814931°
W 19.923706°		 →
↑
175.97 m
↓
↑
175.97 m
↓
S 54.816514°
W 19.926453°		 ← 175.99 m →
30 968 m²		 S 54.816514°
W 19.923706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444652557373047 y=0.682811737060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444652557373047 × 217)
    floor (0.444652557373047 × 131072)
    floor (58281.5)     		tx = 58281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682811737060547 × 217)
    floor (0.682811737060547 × 131072)
    floor (89497.5)     		ty = 89497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58281 / 89497 ti = "17/58281/89497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58281/89497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58281 ÷ 217
    58281 ÷ 131072     		x = 0.444648742675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89497 ÷ 217
    89497 ÷ 131072     		y = 0.682807922363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444648742675781 × 2 - 1) × π
    -0.110702514648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.34778221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682807922363281 × 2 - 1) × π
    -0.365615844726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.14861605179617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34778221} λ = -0.34778221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14861605179617))-π/2
    2×atan(0.317075281636438)-π/2
    2×0.307047650088355-π/2
    0.614095300176711-1.57079632675     		φ = -0.95670103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34778221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.926453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95670103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.814931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58281 KachelY 89497 -0.34778221 -0.95670103 -19.926453 -54.814931
    Oben rechts KachelX + 1 58282 KachelY 89497 -0.34773427 -0.95670103 -19.923706 -54.814931
    Unten links KachelX 58281 KachelY + 1 89498 -0.34778221 -0.95672865 -19.926453 -54.816514
    Unten rechts KachelX + 1 58282 KachelY + 1 89498 -0.34773427 -0.95672865 -19.923706 -54.816514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95670103--0.95672865) × R
    2.7620000000006e-05 × 6371000     		dl = 175.967020000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95670103--0.95672865) × R
    2.7620000000006e-05 × 6371000     		dr = 175.967020000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34778221--0.34773427) × cos(-0.95670103) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.576219348714179 × 6371000     		do = 175.992220983231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34778221--0.34773427) × cos(-0.95672865) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.576196774804041 × 6371000     		du = 175.985326330022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95670103)-sin(-0.95672865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576219348714179-0.576196774804041)×R²
    abs(-0.34773427--0.34778221)×2.25739101382683e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25739101382683e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25739101382683e-05×40589641000000     		ar = 30968.2200558903m²