Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58280 / 88890
↖ ↑ ↗
← S 53.842805°
W 19.929199°		 ← 180.16 m → S 53.842805°
W 19.926453°		 →
↑
180.17 m
↓
↑
180.17 m
↓
S 53.844425°
W 19.929199°		 ← 180.16 m →
32 460 m²		 S 53.844425°
W 19.926453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444644927978516 y=0.678180694580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444644927978516 × 217)
    floor (0.444644927978516 × 131072)
    floor (58280.5)     		tx = 58280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678180694580078 × 217)
    floor (0.678180694580078 × 131072)
    floor (88890.5)     		ty = 88890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58280 / 88890 ti = "17/58280/88890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58280/88890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58280 ÷ 217
    58280 ÷ 131072     		x = 0.44464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88890 ÷ 217
    88890 ÷ 131072     		y = 0.678176879882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44464111328125 × 2 - 1) × π
    -0.1107177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34783014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678176879882812 × 2 - 1) × π
    -0.356353759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.11951835372679
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34783014} λ = -0.34783014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11951835372679))-π/2
    2×atan(0.326436983921924)-π/2
    2×0.315531052398698-π/2
    0.631062104797396-1.57079632675     		φ = -0.93973422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34783014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.929199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93973422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.842805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58280 KachelY 88890 -0.34783014 -0.93973422 -19.929199 -53.842805
    Oben rechts KachelX + 1 58281 KachelY 88890 -0.34778221 -0.93973422 -19.926453 -53.842805
    Unten links KachelX 58280 KachelY + 1 88891 -0.34783014 -0.93976250 -19.929199 -53.844425
    Unten rechts KachelX + 1 58281 KachelY + 1 88891 -0.34778221 -0.93976250 -19.926453 -53.844425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93973422--0.93976250) × R
    2.82799999999916e-05 × 6371000     		dl = 180.171879999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93973422--0.93976250) × R
    2.82799999999916e-05 × 6371000     		dr = 180.171879999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34783014--0.34778221) × cos(-0.93973422) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.590002636989477 × 6371000     		do = 180.16440293657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34783014--0.34778221) × cos(-0.93976250) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.589979803444276 × 6371000     		du = 180.157430438855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93973422)-sin(-0.93976250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590002636989477-0.589979803444276)×R²
    abs(-0.34778221--0.34783014)×2.28335452003847e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.28335452003847e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.28335452003847e-05×40589641000000     		ar = 32459.931064247m²