Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58276 / 90044
↖ ↑ ↗
← S 55.671389°
W 19.940185°		 ← 172.24 m → S 55.671389°
W 19.937439°		 →
↑
172.27 m
↓
↑
172.27 m
↓
S 55.672938°
W 19.940185°		 ← 172.23 m →
29 672 m²		 S 55.672938°
W 19.937439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444614410400391 y=0.686985015869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444614410400391 × 217)
    floor (0.444614410400391 × 131072)
    floor (58276.5)     		tx = 58276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686985015869141 × 217)
    floor (0.686985015869141 × 131072)
    floor (90044.5)     		ty = 90044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58276 / 90044 ti = "17/58276/90044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58276/90044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58276 ÷ 217
    58276 ÷ 131072     		x = 0.444610595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90044 ÷ 217
    90044 ÷ 131072     		y = 0.686981201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444610595703125 × 2 - 1) × π
    -0.11077880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34802189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686981201171875 × 2 - 1) × π
    -0.37396240234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.17483753588834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34802189} λ = -0.34802189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17483753588834))-π/2
    2×atan(0.308869155765015)-π/2
    2×0.299573642286787-π/2
    0.599147284573575-1.57079632675     		φ = -0.97164904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34802189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.940185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97164904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.671389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58276 KachelY 90044 -0.34802189 -0.97164904 -19.940185 -55.671389
    Oben rechts KachelX + 1 58277 KachelY 90044 -0.34797395 -0.97164904 -19.937439 -55.671389
    Unten links KachelX 58276 KachelY + 1 90045 -0.34802189 -0.97167608 -19.940185 -55.672938
    Unten rechts KachelX + 1 58277 KachelY + 1 90045 -0.34797395 -0.97167608 -19.937439 -55.672938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97164904--0.97167608) × R
    2.70400000000892e-05 × 6371000     		dl = 172.271840000568m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97164904--0.97167608) × R
    2.70400000000892e-05 × 6371000     		dr = 172.271840000568m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34802189--0.34797395) × cos(-0.97164904) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.563938493621496 × 6371000     		do = 172.241331728917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34802189--0.34797395) × cos(-0.97167608) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.563916163329254 × 6371000     		du = 172.234511482885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97164904)-sin(-0.97167608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563938493621496-0.563916163329254)×R²
    abs(-0.34797395--0.34802189)×2.23302922420787e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23302922420787e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23302922420787e-05×40589641000000     		ar = 29671.743674695m²