Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58276 / 90029
↖ ↑ ↗
← S 55.648149°
W 19.940185°		 ← 172.34 m → S 55.648149°
W 19.937439°		 →
↑
172.34 m
↓
↑
172.34 m
↓
S 55.649699°
W 19.940185°		 ← 172.34 m →
29 700 m²		 S 55.649699°
W 19.937439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444614410400391 y=0.686870574951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444614410400391 × 217)
    floor (0.444614410400391 × 131072)
    floor (58276.5)     		tx = 58276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686870574951172 × 217)
    floor (0.686870574951172 × 131072)
    floor (90029.5)     		ty = 90029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58276 / 90029 ti = "17/58276/90029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58276/90029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58276 ÷ 217
    58276 ÷ 131072     		x = 0.444610595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90029 ÷ 217
    90029 ÷ 131072     		y = 0.686866760253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444610595703125 × 2 - 1) × π
    -0.11077880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34802189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686866760253906 × 2 - 1) × π
    -0.373733520507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.17411848239404
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34802189} λ = -0.34802189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17411848239404))-π/2
    2×atan(0.309091329078426)-π/2
    2×0.299776453462106-π/2
    0.599552906924213-1.57079632675     		φ = -0.97124342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34802189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.940185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97124342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.648149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58276 KachelY 90029 -0.34802189 -0.97124342 -19.940185 -55.648149
    Oben rechts KachelX + 1 58277 KachelY 90029 -0.34797395 -0.97124342 -19.937439 -55.648149
    Unten links KachelX 58276 KachelY + 1 90030 -0.34802189 -0.97127047 -19.940185 -55.649699
    Unten rechts KachelX + 1 58277 KachelY + 1 90030 -0.34797395 -0.97127047 -19.937439 -55.649699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97124342--0.97127047) × R
    2.70500000000284e-05 × 6371000     		dl = 172.335550000181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97124342--0.97127047) × R
    2.70500000000284e-05 × 6371000     		dr = 172.335550000181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34802189--0.34797395) × cos(-0.97124342) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.564273415028123 × 6371000     		do = 172.343625347378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34802189--0.34797395) × cos(-0.97127047) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.56425108266682 × 6371000     		du = 172.336804469401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97124342)-sin(-0.97127047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564273415028123-0.56425108266682)×R²
    abs(-0.34797395--0.34802189)×2.23323613025572e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23323613025572e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23323613025572e-05×40589641000000     		ar = 29700.3457249984m²