Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58274 / 90028
↖ ↑ ↗
← S 55.646599°
W 19.945679°		 ← 172.35 m → S 55.646599°
W 19.942932°		 →
↑
172.34 m
↓
↑
172.34 m
↓
S 55.648149°
W 19.945679°		 ← 172.34 m →
29 702 m²		 S 55.648149°
W 19.942932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444599151611328 y=0.686862945556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444599151611328 × 217)
    floor (0.444599151611328 × 131072)
    floor (58274.5)     		tx = 58274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686862945556641 × 217)
    floor (0.686862945556641 × 131072)
    floor (90028.5)     		ty = 90028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58274 / 90028 ti = "17/58274/90028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58274/90028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58274 ÷ 217
    58274 ÷ 131072     		x = 0.444595336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90028 ÷ 217
    90028 ÷ 131072     		y = 0.686859130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444595336914062 × 2 - 1) × π
    -0.110809326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34811777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686859130859375 × 2 - 1) × π
    -0.37371826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.17407054549442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34811777} λ = -0.34811777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17407054549442))-π/2
    2×atan(0.309106146313585)-π/2
    2×0.299789978488767-π/2
    0.599579956977534-1.57079632675     		φ = -0.97121637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34811777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.945679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97121637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.646599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58274 KachelY 90028 -0.34811777 -0.97121637 -19.945679 -55.646599
    Oben rechts KachelX + 1 58275 KachelY 90028 -0.34806983 -0.97121637 -19.942932 -55.646599
    Unten links KachelX 58274 KachelY + 1 90029 -0.34811777 -0.97124342 -19.945679 -55.648149
    Unten rechts KachelX + 1 58275 KachelY + 1 90029 -0.34806983 -0.97124342 -19.942932 -55.648149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97121637--0.97124342) × R
    2.70499999999174e-05 × 6371000     		dl = 172.335549999474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97121637--0.97124342) × R
    2.70499999999174e-05 × 6371000     		dr = 172.335549999474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34811777--0.34806983) × cos(-0.97121637) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.564295746976545 × 6371000     		do = 172.350446099051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34811777--0.34806983) × cos(-0.97124342) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.564273415028123 × 6371000     		du = 172.343625347179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97121637)-sin(-0.97124342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564295746976545-0.564273415028123)×R²
    abs(-0.34806983--0.34811777)×2.23319484221607e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.23319484221607e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.23319484221607e-05×40589641000000     		ar = 29701.5211940583m²