Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58273 / 90035
↖ ↑ ↗
← S 55.657447°
W 19.948425°		 ← 172.27 m → S 55.657447°
W 19.945679°		 →
↑
172.27 m
↓
↑
172.27 m
↓
S 55.658996°
W 19.948425°		 ← 172.26 m →
29 676 m²		 S 55.658996°
W 19.945679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444591522216797 y=0.686916351318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444591522216797 × 217)
    floor (0.444591522216797 × 131072)
    floor (58273.5)     		tx = 58273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686916351318359 × 217)
    floor (0.686916351318359 × 131072)
    floor (90035.5)     		ty = 90035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58273 / 90035 ti = "17/58273/90035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58273/90035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58273 ÷ 217
    58273 ÷ 131072     		x = 0.444587707519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90035 ÷ 217
    90035 ÷ 131072     		y = 0.686912536621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444587707519531 × 2 - 1) × π
    -0.110824584960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.34816570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686912536621094 × 2 - 1) × π
    -0.373825073242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.17440610379176
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34816570} λ = -0.34816570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17440610379176))-π/2
    2×atan(0.309002440582063)-π/2
    2×0.299695314542158-π/2
    0.599390629084316-1.57079632675     		φ = -0.97140570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34816570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.948425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97140570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.657447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58273 KachelY 90035 -0.34816570 -0.97140570 -19.948425 -55.657447
    Oben rechts KachelX + 1 58274 KachelY 90035 -0.34811777 -0.97140570 -19.945679 -55.657447
    Unten links KachelX 58273 KachelY + 1 90036 -0.34816570 -0.97143274 -19.948425 -55.658996
    Unten rechts KachelX + 1 58274 KachelY + 1 90036 -0.34811777 -0.97143274 -19.945679 -55.658996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97140570--0.97143274) × R
    2.70399999999782e-05 × 6371000     		dl = 172.271839999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97140570--0.97143274) × R
    2.70399999999782e-05 × 6371000     		dr = 172.271839999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34816570--0.34811777) × cos(-0.97140570) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.564139431181267 × 6371000     		do = 172.266761908662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34816570--0.34811777) × cos(-0.97143274) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.564117104600279 × 6371000     		du = 172.259944218569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97140570)-sin(-0.97143274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564139431181267-0.564117104600279)×R²
    abs(-0.34811777--0.34816570)×2.23265809877748e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.23265809877748e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.23265809877748e-05×40589641000000     		ar = 29676.1247985849m²