Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58270 / 89972
↖ ↑ ↗
← S 55.559709°
W 19.956665°		 ← 172.70 m → S 55.559709°
W 19.953919°		 →
↑
172.72 m
↓
↑
172.72 m
↓
S 55.561263°
W 19.956665°		 ← 172.69 m →
29 827 m²		 S 55.561263°
W 19.953919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444568634033203 y=0.686435699462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444568634033203 × 217)
    floor (0.444568634033203 × 131072)
    floor (58270.5)     		tx = 58270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686435699462891 × 217)
    floor (0.686435699462891 × 131072)
    floor (89972.5)     		ty = 89972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58270 / 89972 ti = "17/58270/89972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58270/89972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58270 ÷ 217
    58270 ÷ 131072     		x = 0.444564819335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89972 ÷ 217
    89972 ÷ 131072     		y = 0.686431884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444564819335938 × 2 - 1) × π
    -0.110870361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34830951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686431884765625 × 2 - 1) × π
    -0.37286376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.17138607911569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34830951} λ = -0.34830951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17138607911569))-π/2
    2×atan(0.309937046133155)-π/2
    2×0.300548234600676-π/2
    0.601096469201352-1.57079632675     		φ = -0.96969986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34830951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.956665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96969986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.559709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58270 KachelY 89972 -0.34830951 -0.96969986 -19.956665 -55.559709
    Oben rechts KachelX + 1 58271 KachelY 89972 -0.34826158 -0.96969986 -19.953919 -55.559709
    Unten links KachelX 58270 KachelY + 1 89973 -0.34830951 -0.96972697 -19.956665 -55.561263
    Unten rechts KachelX + 1 58271 KachelY + 1 89973 -0.34826158 -0.96972697 -19.953919 -55.561263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96969986--0.96972697) × R
    2.71099999999969e-05 × 6371000     		dl = 172.71780999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96969986--0.96972697) × R
    2.71099999999969e-05 × 6371000     		dr = 172.71780999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34830951--0.34826158) × cos(-0.96969986) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.565547086892412 × 6371000     		do = 172.696606513959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34830951--0.34826158) × cos(-0.96972697) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.565524728633635 × 6371000     		du = 172.689779150672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96969986)-sin(-0.96972697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565547086892412-0.565524728633635)×R²
    abs(-0.34826158--0.34830951)×2.23582587770554e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.23582587770554e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.23582587770554e-05×40589641000000     		ar = 29827.1900696468m²