Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58269 / 89973
↖ ↑ ↗
← S 55.561263°
W 19.959412°		 ← 172.73 m → S 55.561263°
W 19.956665°		 →
↑
172.72 m
↓
↑
172.72 m
↓
S 55.562816°
W 19.959412°		 ← 172.72 m →
29 832 m²		 S 55.562816°
W 19.956665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444561004638672 y=0.686443328857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444561004638672 × 217)
    floor (0.444561004638672 × 131072)
    floor (58269.5)     		tx = 58269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686443328857422 × 217)
    floor (0.686443328857422 × 131072)
    floor (89973.5)     		ty = 89973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58269 / 89973 ti = "17/58269/89973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58269/89973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58269 ÷ 217
    58269 ÷ 131072     		x = 0.444557189941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89973 ÷ 217
    89973 ÷ 131072     		y = 0.686439514160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444557189941406 × 2 - 1) × π
    -0.110885620117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.34835745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686439514160156 × 2 - 1) × π
    -0.372879028320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.17143401601531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34835745} λ = -0.34835745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17143401601531))-π/2
    2×atan(0.309922189068189)-π/2
    2×0.300534679581609-π/2
    0.601069359163217-1.57079632675     		φ = -0.96972697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34835745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.959412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96972697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.561263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58269 KachelY 89973 -0.34835745 -0.96972697 -19.959412 -55.561263
    Oben rechts KachelX + 1 58270 KachelY 89973 -0.34830951 -0.96972697 -19.956665 -55.561263
    Unten links KachelX 58269 KachelY + 1 89974 -0.34835745 -0.96975408 -19.959412 -55.562816
    Unten rechts KachelX + 1 58270 KachelY + 1 89974 -0.34830951 -0.96975408 -19.956665 -55.562816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96972697--0.96975408) × R
    2.71099999999969e-05 × 6371000     		dl = 172.71780999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96972697--0.96975408) × R
    2.71099999999969e-05 × 6371000     		dr = 172.71780999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34835745--0.34830951) × cos(-0.96972697) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.565524728633635 × 6371000     		do = 172.725808731314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34835745--0.34830951) × cos(-0.96975408) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.565502369959224 × 6371000     		du = 172.718979816636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96972697)-sin(-0.96975408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565524728633635-0.565502369959224)×R²
    abs(-0.34830951--0.34835745)×2.23586744106941e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23586744106941e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23586744106941e-05×40589641000000     		ar = 29832.2336789169m²