Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58269 / 89627
↖ ↑ ↗
← S 55.020150°
W 19.959412°		 ← 175.10 m → S 55.020150°
W 19.956665°		 →
↑
175.08 m
↓
↑
175.08 m
↓
S 55.021724°
W 19.959412°		 ← 175.09 m →
30 655 m²		 S 55.021724°
W 19.956665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444561004638672 y=0.683803558349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444561004638672 × 217)
    floor (0.444561004638672 × 131072)
    floor (58269.5)     		tx = 58269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683803558349609 × 217)
    floor (0.683803558349609 × 131072)
    floor (89627.5)     		ty = 89627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58269 / 89627 ti = "17/58269/89627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58269/89627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58269 ÷ 217
    58269 ÷ 131072     		x = 0.444557189941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89627 ÷ 217
    89627 ÷ 131072     		y = 0.683799743652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444557189941406 × 2 - 1) × π
    -0.110885620117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.34835745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683799743652344 × 2 - 1) × π
    -0.367599487304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.15484784874677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34835745} λ = -0.34835745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15484784874677))-π/2
    2×atan(0.315105476949468)-π/2
    2×0.305256777456351-π/2
    0.610513554912702-1.57079632675     		φ = -0.96028277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34835745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.959412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96028277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.020150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58269 KachelY 89627 -0.34835745 -0.96028277 -19.959412 -55.020150
    Oben rechts KachelX + 1 58270 KachelY 89627 -0.34830951 -0.96028277 -19.956665 -55.020150
    Unten links KachelX 58269 KachelY + 1 89628 -0.34835745 -0.96031025 -19.959412 -55.021724
    Unten rechts KachelX + 1 58270 KachelY + 1 89628 -0.34830951 -0.96031025 -19.956665 -55.021724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96028277--0.96031025) × R
    2.74800000000797e-05 × 6371000     		dl = 175.075080000508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96028277--0.96031025) × R
    2.74800000000797e-05 × 6371000     		dr = 175.075080000508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34835745--0.34830951) × cos(-0.96028277) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.57328832034677 × 6371000     		do = 175.097009475357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34835745--0.34830951) × cos(-0.96031025) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.573265804290368 × 6371000     		du = 175.090132492169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96028277)-sin(-0.96031025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57328832034677-0.573265804290368)×R²
    abs(-0.34830951--0.34835745)×2.25160564019111e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25160564019111e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25160564019111e-05×40589641000000     		ar = 30654.5209495164m²