Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58266 / 89980
↖ ↑ ↗
← S 55.572134°
W 19.967651°		 ← 172.68 m → S 55.572134°
W 19.964905°		 →
↑
172.65 m
↓
↑
172.65 m
↓
S 55.573687°
W 19.967651°		 ← 172.67 m →
29 813 m²		 S 55.573687°
W 19.964905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444538116455078 y=0.686496734619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444538116455078 × 217)
    floor (0.444538116455078 × 131072)
    floor (58266.5)     		tx = 58266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686496734619141 × 217)
    floor (0.686496734619141 × 131072)
    floor (89980.5)     		ty = 89980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58266 / 89980 ti = "17/58266/89980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58266/89980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58266 ÷ 217
    58266 ÷ 131072     		x = 0.444534301757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89980 ÷ 217
    89980 ÷ 131072     		y = 0.686492919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444534301757812 × 2 - 1) × π
    -0.110931396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34850126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686492919921875 × 2 - 1) × π
    -0.37298583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.17176957431265
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34850126} λ = -0.34850126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17176957431265))-π/2
    2×atan(0.309818209552688)-π/2
    2×0.300439809452372-π/2
    0.600879618904744-1.57079632675     		φ = -0.96991671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34850126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.967651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96991671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.572134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58266 KachelY 89980 -0.34850126 -0.96991671 -19.967651 -55.572134
    Oben rechts KachelX + 1 58267 KachelY 89980 -0.34845332 -0.96991671 -19.964905 -55.572134
    Unten links KachelX 58266 KachelY + 1 89981 -0.34850126 -0.96994381 -19.967651 -55.573687
    Unten rechts KachelX + 1 58267 KachelY + 1 89981 -0.34845332 -0.96994381 -19.964905 -55.573687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96991671--0.96994381) × R
    2.70999999999466e-05 × 6371000     		dl = 172.65409999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96991671--0.96994381) × R
    2.70999999999466e-05 × 6371000     		dr = 172.65409999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34850126--0.34845332) × cos(-0.96991671) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.565368233930534 × 6371000     		do = 172.678011220613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34850126--0.34845332) × cos(-0.96994381) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.565345880596148 × 6371000     		du = 172.671183936917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96991671)-sin(-0.96994381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565368233930534-0.565345880596148)×R²
    abs(-0.34845332--0.34850126)×2.23533343862714e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.23533343862714e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.23533343862714e-05×40589641000000     		ar = 29812.9772397039m²