Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58265 / 89976
↖ ↑ ↗
← S 55.565922°
W 19.970398°		 ← 172.71 m → S 55.565922°
W 19.967651°		 →
↑
172.72 m
↓
↑
172.72 m
↓
S 55.567475°
W 19.970398°		 ← 172.70 m →
29 829 m²		 S 55.567475°
W 19.967651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444530487060547 y=0.686466217041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444530487060547 × 217)
    floor (0.444530487060547 × 131072)
    floor (58265.5)     		tx = 58265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686466217041016 × 217)
    floor (0.686466217041016 × 131072)
    floor (89976.5)     		ty = 89976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58265 / 89976 ti = "17/58265/89976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58265/89976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58265 ÷ 217
    58265 ÷ 131072     		x = 0.444526672363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89976 ÷ 217
    89976 ÷ 131072     		y = 0.68646240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444526672363281 × 2 - 1) × π
    -0.110946655273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.34854920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68646240234375 × 2 - 1) × π
    -0.3729248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.17157782671417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34854920} λ = -0.34854920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17157782671417))-π/2
    2×atan(0.309877622146264)-π/2
    2×0.30049401773969-π/2
    0.60098803547938-1.57079632675     		φ = -0.96980829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34854920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.970398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96980829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.565922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58265 KachelY 89976 -0.34854920 -0.96980829 -19.970398 -55.565922
    Oben rechts KachelX + 1 58266 KachelY 89976 -0.34850126 -0.96980829 -19.967651 -55.565922
    Unten links KachelX 58265 KachelY + 1 89977 -0.34854920 -0.96983540 -19.970398 -55.567475
    Unten rechts KachelX + 1 58266 KachelY + 1 89977 -0.34850126 -0.96983540 -19.967651 -55.567475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96980829--0.96983540) × R
    2.71099999999969e-05 × 6371000     		dl = 172.71780999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96980829--0.96983540) × R
    2.71099999999969e-05 × 6371000     		dr = 172.71780999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34854920--0.34850126) × cos(-0.96980829) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.565457659611341 × 6371000     		do = 172.705324125549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34854920--0.34850126) × cos(-0.96983540) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.565435299690281 × 6371000     		du = 172.698494830113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96980829)-sin(-0.96983540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565457659611341-0.565435299690281)×R²
    abs(-0.34850126--0.34854920)×2.23599210594783e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23599210594783e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23599210594783e-05×40589641000000     		ar = 29828.695589775m²