Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58263 / 87788
↖ ↑ ↗
← S 52.018698°
W 19.975891°		 ← 187.96 m → S 52.018698°
W 19.973144°		 →
↑
187.94 m
↓
↑
187.94 m
↓
S 52.020388°
W 19.975891°		 ← 187.95 m →
35 325 m²		 S 52.020388°
W 19.973144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444515228271484 y=0.669773101806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444515228271484 × 217)
    floor (0.444515228271484 × 131072)
    floor (58263.5)     		tx = 58263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669773101806641 × 217)
    floor (0.669773101806641 × 131072)
    floor (87788.5)     		ty = 87788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58263 / 87788 ti = "17/58263/87788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58263/87788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58263 ÷ 217
    58263 ÷ 131072     		x = 0.444511413574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87788 ÷ 217
    87788 ÷ 131072     		y = 0.669769287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444511413574219 × 2 - 1) × π
    -0.110977172851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.34864507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669769287109375 × 2 - 1) × π
    -0.33953857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.06669189034549
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34864507} λ = -0.34864507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06669189034549))-π/2
    2×atan(0.344145106150307)-π/2
    2×0.33144938634929-π/2
    0.662898772698579-1.57079632675     		φ = -0.90789755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34864507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.975891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90789755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.018698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58263 KachelY 87788 -0.34864507 -0.90789755 -19.975891 -52.018698
    Oben rechts KachelX + 1 58264 KachelY 87788 -0.34859713 -0.90789755 -19.973144 -52.018698
    Unten links KachelX 58263 KachelY + 1 87789 -0.34864507 -0.90792705 -19.975891 -52.020388
    Unten rechts KachelX + 1 58264 KachelY + 1 87789 -0.34859713 -0.90792705 -19.973144 -52.020388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90789755--0.90792705) × R
    2.94999999999046e-05 × 6371000     		dl = 187.944499999392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90789755--0.90792705) × R
    2.94999999999046e-05 × 6371000     		dr = 187.944499999392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34864507--0.34859713) × cos(-0.90789755) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.615404283935012 × 6371000     		do = 187.960308820116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34864507--0.34859713) × cos(-0.90792705) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.615381031424271 × 6371000     		du = 187.953206904816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90789755)-sin(-0.90792705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615404283935012-0.615381031424271)×R²
    abs(-0.34859713--0.34864507)×2.32525107405346e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32525107405346e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32525107405346e-05×40589641000000     		ar = 35325.4388804711m²