Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58261 / 87709
↖ ↑ ↗
← S 51.884968°
W 19.981384°		 ← 188.48 m → S 51.884968°
W 19.978638°		 →
↑
188.52 m
↓
↑
188.52 m
↓
S 51.886664°
W 19.981384°		 ← 188.48 m →
35 532 m²		 S 51.886664°
W 19.978638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444499969482422 y=0.669170379638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444499969482422 × 217)
    floor (0.444499969482422 × 131072)
    floor (58261.5)     		tx = 58261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669170379638672 × 217)
    floor (0.669170379638672 × 131072)
    floor (87709.5)     		ty = 87709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58261 / 87709 ti = "17/58261/87709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58261/87709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58261 ÷ 217
    58261 ÷ 131072     		x = 0.444496154785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87709 ÷ 217
    87709 ÷ 131072     		y = 0.669166564941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444496154785156 × 2 - 1) × π
    -0.111007690429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.34874094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669166564941406 × 2 - 1) × π
    -0.338333129882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.06290487527551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34874094} λ = -0.34874094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06290487527551))-π/2
    2×atan(0.345450859747298)-π/2
    2×0.33261639881635-π/2
    0.6652327976327-1.57079632675     		φ = -0.90556353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34874094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.981384°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90556353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.884968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58261 KachelY 87709 -0.34874094 -0.90556353 -19.981384 -51.884968
    Oben rechts KachelX + 1 58262 KachelY 87709 -0.34869301 -0.90556353 -19.978638 -51.884968
    Unten links KachelX 58261 KachelY + 1 87710 -0.34874094 -0.90559312 -19.981384 -51.886664
    Unten rechts KachelX + 1 58262 KachelY + 1 87710 -0.34869301 -0.90559312 -19.978638 -51.886664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90556353--0.90559312) × R
    2.95900000000238e-05 × 6371000     		dl = 188.517890000151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90556353--0.90559312) × R
    2.95900000000238e-05 × 6371000     		dr = 188.517890000151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34874094--0.34869301) × cos(-0.90556353) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.617242307711302 × 6371000     		do = 188.482364084505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34874094--0.34869301) × cos(-0.90559312) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.617219026824631 × 6371000     		du = 188.475254985691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90556353)-sin(-0.90559312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617242307711302-0.617219026824631)×R²
    abs(-0.34869301--0.34874094)×2.32808866710288e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.32808866710288e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.32808866710288e-05×40589641000000     		ar = 35531.627485854m²