Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58260 / 87708
↖ ↑ ↗
← S 51.883273°
W 19.984131°		 ← 188.53 m → S 51.883273°
W 19.981384°		 →
↑
188.52 m
↓
↑
188.52 m
↓
S 51.884968°
W 19.984131°		 ← 188.52 m →
35 540 m²		 S 51.884968°
W 19.981384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444492340087891 y=0.669162750244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444492340087891 × 217)
    floor (0.444492340087891 × 131072)
    floor (58260.5)     		tx = 58260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669162750244141 × 217)
    floor (0.669162750244141 × 131072)
    floor (87708.5)     		ty = 87708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58260 / 87708 ti = "17/58260/87708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58260/87708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58260 ÷ 217
    58260 ÷ 131072     		x = 0.444488525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87708 ÷ 217
    87708 ÷ 131072     		y = 0.669158935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444488525390625 × 2 - 1) × π
    -0.11102294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34878888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669158935546875 × 2 - 1) × π
    -0.33831787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.06285693837589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34878888} λ = -0.34878888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06285693837589))-π/2
    2×atan(0.345467419987405)-π/2
    2×0.332631193436628-π/2
    0.665262386873256-1.57079632675     		φ = -0.90553394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34878888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.984131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90553394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.883273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58260 KachelY 87708 -0.34878888 -0.90553394 -19.984131 -51.883273
    Oben rechts KachelX + 1 58261 KachelY 87708 -0.34874094 -0.90553394 -19.981384 -51.883273
    Unten links KachelX 58260 KachelY + 1 87709 -0.34878888 -0.90556353 -19.984131 -51.884968
    Unten rechts KachelX + 1 58261 KachelY + 1 87709 -0.34874094 -0.90556353 -19.981384 -51.884968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90553394--0.90556353) × R
    2.95900000000238e-05 × 6371000     		dl = 188.517890000151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90553394--0.90556353) × R
    2.95900000000238e-05 × 6371000     		dr = 188.517890000151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34878888--0.34874094) × cos(-0.90553394) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.617265588057535 × 6371000     		do = 188.528799009102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34878888--0.34874094) × cos(-0.90556353) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.617242307711302 × 6371000     		du = 188.521688592127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90553394)-sin(-0.90556353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617265588057535-0.617242307711302)×R²
    abs(-0.34874094--0.34878888)×2.32803462334452e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32803462334452e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32803462334452e-05×40589641000000     		ar = 35540.3811757555m²