Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58253 / 89647
↖ ↑ ↗
← S 55.051629°
W 20.003357°		 ← 174.96 m → S 55.051629°
W 20.000610°		 →
↑
174.95 m
↓
↑
174.95 m
↓
S 55.053203°
W 20.003357°		 ← 174.95 m →
30 608 m²		 S 55.053203°
W 20.000610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444438934326172 y=0.683956146240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444438934326172 × 217)
    floor (0.444438934326172 × 131072)
    floor (58253.5)     		tx = 58253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683956146240234 × 217)
    floor (0.683956146240234 × 131072)
    floor (89647.5)     		ty = 89647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58253 / 89647 ti = "17/58253/89647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58253/89647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58253 ÷ 217
    58253 ÷ 131072     		x = 0.444435119628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89647 ÷ 217
    89647 ÷ 131072     		y = 0.683952331542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444435119628906 × 2 - 1) × π
    -0.111129760742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.34912444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683952331542969 × 2 - 1) × π
    -0.367904663085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.15580658673917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34912444} λ = -0.34912444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15580658673917))-π/2
    2×atan(0.314803518129929)-π/2
    2×0.304982068736491-π/2
    0.609964137472982-1.57079632675     		φ = -0.96083219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34912444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.003357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96083219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.051629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58253 KachelY 89647 -0.34912444 -0.96083219 -20.003357 -55.051629
    Oben rechts KachelX + 1 58254 KachelY 89647 -0.34907650 -0.96083219 -20.000610 -55.051629
    Unten links KachelX 58253 KachelY + 1 89648 -0.34912444 -0.96085965 -20.003357 -55.053203
    Unten rechts KachelX + 1 58254 KachelY + 1 89648 -0.34907650 -0.96085965 -20.000610 -55.053203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96083219--0.96085965) × R
    2.74599999999792e-05 × 6371000     		dl = 174.947659999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96083219--0.96085965) × R
    2.74599999999792e-05 × 6371000     		dr = 174.947659999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34912444--0.34907650) × cos(-0.96083219) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.572838064527109 × 6371000     		do = 174.959489758245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34912444--0.34907650) × cos(-0.96085965) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.572815556212419 × 6371000     		du = 174.952615139575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96083219)-sin(-0.96085965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572838064527109-0.572815556212419)×R²
    abs(-0.34907650--0.34912444)×2.25083146894178e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25083146894178e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25083146894178e-05×40589641000000     		ar = 30608.1519806488m²