Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58252 / 88699
↖ ↑ ↗
← S 53.532146°
W 20.006104°		 ← 181.54 m → S 53.532146°
W 20.003357°		 →
↑
181.51 m
↓
↑
181.51 m
↓
S 53.533778°
W 20.006104°		 ← 181.53 m →
32 950 m²		 S 53.533778°
W 20.003357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444431304931641 y=0.676723480224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444431304931641 × 217)
    floor (0.444431304931641 × 131072)
    floor (58252.5)     		tx = 58252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676723480224609 × 217)
    floor (0.676723480224609 × 131072)
    floor (88699.5)     		ty = 88699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58252 / 88699 ti = "17/58252/88699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58252/88699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58252 ÷ 217
    58252 ÷ 131072     		x = 0.444427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88699 ÷ 217
    88699 ÷ 131072     		y = 0.676719665527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444427490234375 × 2 - 1) × π
    -0.11114501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34917238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676719665527344 × 2 - 1) × π
    -0.353439331054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.11036240589936
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34917238} λ = -0.34917238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11036240589936))-π/2
    2×atan(0.329439548602707)-π/2
    2×0.318242064126506-π/2
    0.636484128253012-1.57079632675     		φ = -0.93431220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34917238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.006104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93431220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.532146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58252 KachelY 88699 -0.34917238 -0.93431220 -20.006104 -53.532146
    Oben rechts KachelX + 1 58253 KachelY 88699 -0.34912444 -0.93431220 -20.003357 -53.532146
    Unten links KachelX 58252 KachelY + 1 88700 -0.34917238 -0.93434069 -20.006104 -53.533778
    Unten rechts KachelX + 1 58253 KachelY + 1 88700 -0.34912444 -0.93434069 -20.003357 -53.533778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93431220--0.93434069) × R
    2.84899999999366e-05 × 6371000     		dl = 181.509789999596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93431220--0.93434069) × R
    2.84899999999366e-05 × 6371000     		dr = 181.509789999596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34917238--0.34912444) × cos(-0.93431220) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.594371689117865 × 6371000     		do = 181.536412983965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34917238--0.34912444) × cos(-0.93434069) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.594348777490457 × 6371000     		du = 181.529415183209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93431220)-sin(-0.93434069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594371689117865-0.594348777490457)×R²
    abs(-0.34912444--0.34917238)×2.29116274081953e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29116274081953e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29116274081953e-05×40589641000000     		ar = 32950.0011156153m²