Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58249 / 90075
↖ ↑ ↗
← S 55.719376°
W 20.014343°		 ← 172.03 m → S 55.719376°
W 20.011597°		 →
↑
172.02 m
↓
↑
172.02 m
↓
S 55.720923°
W 20.014343°		 ← 172.02 m →
29 592 m²		 S 55.720923°
W 20.011597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444408416748047 y=0.687221527099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444408416748047 × 217)
    floor (0.444408416748047 × 131072)
    floor (58249.5)     		tx = 58249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687221527099609 × 217)
    floor (0.687221527099609 × 131072)
    floor (90075.5)     		ty = 90075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58249 / 90075 ti = "17/58249/90075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58249/90075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58249 ÷ 217
    58249 ÷ 131072     		x = 0.444404602050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90075 ÷ 217
    90075 ÷ 131072     		y = 0.687217712402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444404602050781 × 2 - 1) × π
    -0.111190795898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.34931619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687217712402344 × 2 - 1) × π
    -0.374435424804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.17632357977656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34931619} λ = -0.34931619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17632357977656))-π/2
    2×atan(0.30841050351692)-π/2
    2×0.299154880665948-π/2
    0.598309761331896-1.57079632675     		φ = -0.97248657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34931619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.014343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97248657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.719376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58249 KachelY 90075 -0.34931619 -0.97248657 -20.014343 -55.719376
    Oben rechts KachelX + 1 58250 KachelY 90075 -0.34926825 -0.97248657 -20.011597 -55.719376
    Unten links KachelX 58249 KachelY + 1 90076 -0.34931619 -0.97251357 -20.014343 -55.720923
    Unten rechts KachelX + 1 58250 KachelY + 1 90076 -0.34926825 -0.97251357 -20.011597 -55.720923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97248657--0.97251357) × R
    2.69999999999992e-05 × 6371000     		dl = 172.016999999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97248657--0.97251357) × R
    2.69999999999992e-05 × 6371000     		dr = 172.016999999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34931619--0.34926825) × cos(-0.97248657) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.563246649574661 × 6371000     		do = 172.030024748948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34931619--0.34926825) × cos(-0.97251357) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.563224339571258 × 6371000     		du = 172.023210699649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97248657)-sin(-0.97251357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563246649574661-0.563224339571258)×R²
    abs(-0.34926825--0.34931619)×2.23100034029144e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23100034029144e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23100034029144e-05×40589641000000     		ar = 29591.502702819m²